Для какого k PLANAR NAE k-SAT в P?

Задача «Не все равно $k$ -SAT» (NAE $k$ -SAT), учитывая набор $C$ предложений над набором $X$ булевых переменных, так что каждое предложение содержит не более $k$ литералов, спрашивает, существует ли истинное присвоение переменных таким образом, чтобы каждое предложение содержит, по крайней мере, один истинный и, по крайней мере, один ложный литерал.

ПЛАНАРНАЯ задача NAE $k$ -SAT является ограничением NAE $k$ -SAT для тех случаев, когда двудольный граф инцидентности $C$ и $X$ (т. Е. Граф частей $C$ и $X$ с ребром между $x\in X$ и $c\in C$ если и только если $x$ или $\overline{x}$ принадлежит $c$ ), является плоской.

Известно, что NAE 3-SAT является NP-полной (Garey and Johnson, Computers and Intractability; Руководство по теории NP-полноты), но PLANAR NAE 3-SAT находится в P (см. Планарная NAE3SAT в P, B Морет, Новости ACM SIGACT, том 19, выпуск 2, лето 1988 г. - к сожалению, у меня нет доступа к этой статье).

Является ли PLANAR NAE -SAT в P для некоторого ? Есть ли значение для которого было показано, что оно NP-полное?$k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT находится в P для всех значений k .$k$$k$

Причина в том, что мы можем уменьшить PLANAR NAE -SAT до PLANAR NAE 3 -SAT. Пусть ϕ будет экземпляром PLANAR NAE k -SAT, и пусть ϕ и v C , тогда как C $k$$3$$\phi$$k$$\phi$ содержит предложение с литералами ℓ 1 , ℓ 2 , … , ℓ k . Введите новую переменную v C и замените C двумя предложениями NAE C 1 и C 2 . C 1 содержит 3 литерала ℓ 1 , ℓ $C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$$v_C$$C_2$ содержит литерал ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , … , ℓ k . Легко видеть, что C выполнима тогда и только тогда, когда C 1 ∧ C 2 , и преобразование сохраняет планарность. Теперь мы можем неоднократно применять эту процедуру к предложениям, чтобы в конечном итоге получить экземпляр ϕ ′ NAE 3 -SAT по желанию.$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$