Хорошие коды декодируются линейными цепями?

Я ищу коды с исправлением ошибок следующего типа:

двоичные коды с постоянной скоростью,
декодируется из некоторой постоянной доли ошибок декодером, реализуемым в виде логической схемы размера , где - длина кодирования. $O(N)$ $N$

Немного предыстории:

Шпильман, в линейном время кодируемого и декодируемых коды , исправляющие ошибки , дал коды декодируемый в время в модели RAM логарифмических затрат , а также проигрываться -sized цепей. $O(N)$ $O(N \log N)$
Guruswami и Indyk дали улучшенную конструкцию в кодируемых / декодируемых кодах за линейное время с почти оптимальной скоростью . Они не анализируют полученную сложность схемы, хотя я считаю, что она также равна . $\Theta(N \log N)$

Заранее спасибо!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

Энди, по совпадению, я тоже сталкивался с этим вопросом около года назад и после недолгих поисков пришел к выводу, что вопрос открыт. Итак, мне также любопытно, если ответ известен.

— Арнаб

Этот отчет ECCC только что вышел. Я не проверял, но я ожидаю, что это также дает

цепь.

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— Питер Шор

Возможно ли

декодирование в модели AWGN или в двоичной модели?

O (N)

$O(N)$

— T ....

Хорошие двоичные коды, которые полностью линейно кодируются (

) и могут быть декодированы и достигают частоты ошибок

где

- длина блока кода, вероятно, требуют некоторой принципиально новой идеи. На данный момент лучшее из этого - в соответствии с теоремой

в arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Давайте посмотрим , если кто - то улучшает

до

в там в

кодирование и декодирование время , которое я считаю , должно быть возможно (даже с

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

). Тем не менее, доведение

до

может потребовать больше, чем несколько хитростей.

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$

— T ....

Посмотрите на коды Expander. Эти коды обеспечивают линейное временное кодирование и декодирование. Линейность зависит от размера кодового слова. Но я не уверен, что их можно декодировать с помощью линейных схем.

— Вивек Багария

$R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G. и соавт. «Практические коды устойчивости к потерям». Материалы двадцать девятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ари Трахтенберг
источник