Космические «промышленные» несбалансированные экспандеры

Я ищу несбалансированные расширители, которые "хороши" и "экономичны". В частности, двудольный лево-регулярный граф , , , с левой степенью является -расширителем, если для любого размером не более , число различных соседей в , по крайней мере, Известно, что вероятностный метод дает такой граф с и . Однако нужно| A | = n | Б | = m d ( k , ϵ ) S ⊂ A k S B ( 1 - ϵ ) d | S | d = O ( log ( n / k ) / ϵ ) m = O ( k log ( $G=(A,B,E)$$|A|=n$$|B|=m$$d$$(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$$(1-\epsilon)d|S|$$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$O ( n d $m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$$O(n d)$пространство для хранения такого графика. Также необходимо получить доступ к этому хранилищу при выполнении чего-либо с графиком, что также может стоить. В идеале хотелось бы явной конструкции. Однако, насколько я знаю, известные конструкции достигают параметров, которые все еще несколько далеки от вышеупомянутых (по крайней мере, доказуемо так).

Мой вопрос: есть ли другие конструкции, возможно, не явные, которые достигают границ «ближе» к указанным выше, но используют «значительно меньше», чем пространство?$O(nd)$

Я ищу ответы в любой из этих трех категорий: (а) теоремы (б) гипотезы (в) наблюдения и «военные истории», такие как «мы сделали это, и это вроде как сработало (вроде)». Т.е. с «промышленными» экспандерами все в порядке. Я предпочитаю (а), чем (б) и (б), чем (в), но нищие не могут быть выбором :)

Вот пример конструкции типа (с). Возьмите случайных линейных хеш-функций (mod ) и соедините каждую вершину с . Я и мой ученик провели некоторые эксперименты на нем, и это, казалось, работало "отлично". Есть ли какие-либо теоремы или предположения об этой или связанных конструкциях?h i : [ n ] → [ m ] m i h 1 ( i ) … h d ( i $d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

Благодарность!

Eickmeyer и Grohe (2010) доказывают, что конструкция вашего кандидата может быть сделана явной: возьмите несколько линейно независимых линейных хеш-функций и соедините левые вершины с правыми вершинами , Эйкмейер и Гроэ показывают, что эта конструкция дает -экспандеры с левой степенью , всякий раз, когда является целым числом, множество левых вершин имеет размер , правый набор вершин имеет размер , а - простая степень. Хеш-функции выбираются таким образом, чтобы любойh 1 , … , h d v h 1 ( v ) , … , h d ( v ) ( k , ϵ ) d = k ( t - 1 ) / ( 2 ϵ ) t n = q t m = d q q > д ч 1 , … , ч д$d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$ из них линейно независимы.

Я подумал, что, взглянув на обзоры / доклады Ави Вигдерсон, может помочь с вашим вопросом. Вот слайды из недавнего выступления: Учебное пособие по Expander, июнь 2010 . Строительство начинается на стр. 40.

Что касается сложности пространства, я думаю, что это может быть полезно, если вы укажете операции, которые нужно выполнить на графике. Если я не ошибаюсь, некоторые конструкции позволяют работать как вычислительные окрестности в пространстве журналов.