Изометрическое вложение L2 в L1

Известно , что дано $n$ - точечное подмножество $\ell_2^d$ (то есть, заданный $n$ точек в ${\mathbb R}^d$ с евклидовым расстоянием) можно вставлять их изометрический в $\ell^{n\choose 2}_1$ .

Является ли изометрия вычислимой за (возможно, рандомизированное) полиномиальное время?

Поскольку существуют проблемы с конечной точностью, точный вопрос

Для заданного множества $X$ из $n$ точек в ${\mathbb R}^d$ и $\epsilon >0$ существует ли отображение $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ вычисляемое (возможно, с использованием случайности) в полином по времени от $n$ и логарифмический по $1/\epsilon$ такой, что для каждого $x,y\in X$ имеем

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Примечание: мне известно, что отображение с искажением $(1+\epsilon)$ можно найти с высокой вероятностью по полиному по времени от $n$ и $1/\epsilon$ , проецируя на $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ случайные линии, но я не уверен, можно ли конструктивно уменьшить число измерений до $n\choose 2$ или даже $O(n^2)$ когда $1/\epsilon$ намного больше $n$ , и я не знаю, есть ли метод полиномиального времени для обработки случая, когда $1/\epsilon$ экспоненциально по $n$ .)

Суреш попросил меня собрать мои комментарии выше в ответ, так что вот оно. Я не совсем уверен, что это ответ на первоначальный вопрос, так как не очевидно, как сделать это полиномиальным временем, когда размерность входного евклидова пространства непостоянна. По крайней мере, у него есть преимущество в том, чтобы избежать любой проблемы с большим как задает оригинальный вопрос, потому что он не включает в себя никакого приближения и выглядит многочленным для константы .$1/\epsilon$$d$

В любом случае: из интегральной геометрии существует стандартная мера на множествах гиперплоскостей в мерном евклидовом пространстве, инвариантная относительно евклидовых конгруэнций. Свойство состоит в том, что длина любой кривой ограниченной длины пропорциональна мере гиперплоскостей, пересекающих (с кратностью, что означает, что если гиперплоскость пересекает дважды, то она вносит двойной вклад в общую меру гиперплоскостей, пересекающих ). В частности, если является отрезком прямой, усложнение множественности не возникает, и мы можем нормализовать меру на гиперплоскостях, пересекающих точно равной длине$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$, (Гиперплоскости, содержащие имеют нулевую меру, поэтому не беспокойтесь о бесконечной кратности.)$C$

Теперь, учитывая набор из n точек в d-мерном пространстве, сделайте координату для каждого из разбиений точек на два подмножества, индуцированных гиперплоскостью, которая не проходит ни через одну из точек. Приведите точки на одной стороне значения координаты разбиения к нулю, а точки на другой стороне значения координаты разбиения равны мере набора гиперплоскостей, индуцирующих это разбиение.$\ell_1$

Если и - любые две из точек, пусть - множество гиперплоскостей, пересекающих отрезок прямой , и пусть - подмножества образованные каждым возможным разбиением гиперплоскости, у которого на одной стороне и на другой. Тогда является непересекающимся объединением , а разности координат между и являются просто мерами подмножеств . Следовательно, расстояние между координатами и$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ (сумма мер ) является мерой , которая является просто исходным расстоянием между и .$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

Для вычислительных геометров может быть полезно альтернативное описание той же конструкции: используйте проективную двойственность для преобразования входных точек в гиперплоскостей и разделения гиперплоскостей на точки. Мера интегральной геометрии на наборах гиперплоскостей затем преобразуется в более стандартную меру на наборах точек, расстояние между и удваивается к мере двойного клина между двумя гиперплоскостями, а расположение гиперплоскости разбивает этот двойной клин на меньшие ячейки , Значение координаты для точки является либо мерой одной из ячеек в расположении (если двойная гиперплоскость находится ниже ячейки этой координаты), либо нулем (если двойная гиперплоскость находится выше ячейки). Следовательно$n$$n$$p$$q$$\ell_1$Расстояние между и - это просто сумма мер ячеек в двойном клине, которая совпадает с мерой всего двойного клина. Эта двойная точка зрения также позволяет легко вычислить размерность вложения, найденного таким образом: это просто число ячеек в расположении гиперплоскости, которое равно , или, точнее, самое большее .$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Пока что это дает полностью детерминированное и точное вложение в . Но мы хотели меньшее измерение, . Вот где вступает комментарий Луки о теореме Каратеодори . Множество представимых метрик образует многогранный конус в мерном пространстве всех функций от неупорядоченных пар точек до действительных чисел, а приведенный выше геометрический аргумент говорит, что евклидова метрика принадлежит этому конусу. Точки на крайних лучах конуса являются одномерными$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$псевдометрика (в которой точки делятся на два набора, все расстояния в одном наборе равны нулю, а все расстояния через разбиение равны), и Каратеодори говорит, что любая точка в конусе (включая ту, которая нам нужна) может быть представленный в виде выпуклой комбинации точек на экстремальных лучах, число которых не превосходит размерности окружающего пространства, . Но выпуклая комбинация не более чем одномерные метрики является метрикой .$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

Наконец, как мы можем на самом деле вычислить мерное вложение? На данный момент у нас есть не только точка в мерный выпуклый конус метрики (метрика расстояния, с которой мы начали), но у нас также есть множество крайних точек конуса (соответствует разбиению входных данных на два подмножества, индуцированных гиперплоскостями), так что наша метрика представляет собой выпуклую комбинацию этих крайних точек - для малых это большое улучшение по сравнению с крайними лучами, которые имеет конус в целом. Теперь все, что нам нужно сделать, это применить жадный алгоритм, который избавляет от крайних точек из нашего множества, один за другим, пока только$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$из них остались. На каждом этапе нам нужно поддерживать в качестве инварианта, что наша метрика все еще находится внутри выпуклой оболочки оставшихся крайних точек, что является просто проблемой выполнимости линейного программирования, и если мы сделаем это, Каратеодори будет гарантировать, что всегда остается набор крайние точки, выпуклая оболочка которых содержит входную метрику.$n\choose 2$