Какой самый быстрый алгоритм для вычисления ранга прямоугольной матрицы?

Учитывая матрицу $m \times n$ (при условии, что $m \ge n$ ), каков самый быстрый алгоритм для вычисления его ранга и базиса столбцов?

Я знаю, что это может быть решено с помощью линейного пересечения матроидов, что подразумевает детерминистический алгоритм времени $O(mn^{1.62})$ и рандомизированный алгоритм времени . Существует ли детерминированный по времени алгоритм, который более непосредственно сводит задачу (или исключение Гаусса) к умножению матриц?O ( m n ω - 1$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Вы можете привести -матрицу в эшелонированную форму за время O ( n ω + ϵ ) для любого ϵ > 0 . См. Книгу «Теория алгебраической сложности» Бургиссера, Клаузена, Шокроллахи, раздел 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Теперь вы применяете эту процедуру раз к вашей m × n -матрице. Это дает алгоритм с O ( m n ω - 1 ) арифметическими операциями.$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Если вы приведете -матрицу в эшелонированную форму, то она будет содержать нулевую матрицу размера n × n впоследствии. Вы берете оставшуюся n × n -матрицу, добавляете новый n × n -блок вашей входной матрицы и переводите ее в эшелонированную форму и так далее.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

Мы можем вычислить ранг $m \times n$ матрицы А в $\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$ времени, где $\textrm{nnz}(A)$ является количество ненулевых элементов в $A$ и $r$ есть ранг $A$ . Это следует из теоремы 1.1 в Cheung et. и др. [CKL'13] и бинарный поиск по $r$ . Это быстрее, чем алгоритм $O(mn^{\omega-1})$ , упомянутый выше.