Восстановление наклона оцифрованной линии

11

Была ли работа по восстановлению наклона отрезка линии после его оцифровки? Конечно, нельзя делать это с идеальной точностью; то, что нужно, - это метод получения из оцифрованной линии интервала возможных уклонов.

(Понятие оцифрованной строки, которую я использую, - это Розенфельд: набор пар где располагается над целыми числами (или блоком последовательных целых чисел), а обозначает целое число ближайший к (если , мы берем ).) $(i,nint(ai+b))$ $i$ $nint(x)$ $x$ $x=k+1/2$ $nint(x)=k$

Я проделал некоторую работу над этим самостоятельно (см. Http://jamespropp.org/SeeSlope.nb ), но у меня нет формального фона в вычислительной геометрии, поэтому я подозреваю, что могу заново изобретать колесо, так как вопрос кажется таким основной.

На самом деле, я знаю, что метод линейной регрессии для оценки уклона есть в литературе, но я нигде не смог найти свой результат . (Этот результат говорит о том, что если в случайным образом выбрать и равномерно в случайном порядке , то разница между наклоном линии и наклоном линии регрессии, аппроксимирующей точек ( ) имеет стандартное отклонение .) $O(1/n^{1.5})$ $a$ $b$ $[0,1]$ $a$ $y=ax+b$ $\overline{a}$ $n$ $(i,nint(ai+b))$ $1 \leq i \leq n$ $O(1/n^{1.5})$

Будем весьма благодарны за любые ссылки или ссылки на соответствующую литературу.

Джим Пропп (JamesPropp@ignorethis.gmail.com)

— Джим Пропп
источник

Таким образом,

точечная оцифровка - это грубо говоря, набор ячеек из сетки

?

n

$n$

n \times n

$n \times n$

— Суреш Венкат

1

Что именно вы подразумеваете под оцифрованной строкой? Я предположил, что вы имели в виду что-то вроде прямой линии на фотографии или растеризованном изображении, но из разговоров о линейной регрессии это звучит больше как то, что вы заинтересованы в поиске линии, наиболее подходящей для некоторых выборочных данных.

— Джо Фицсимонс

Таким образом, интересующая вас модель - это не точное решение

и

, а лишь их приближение? Я бы упростил задачу, не принимая во внимание

(это просто раздражающий сдвиг), и придерживаясь

(оказывается, это просто еще один сдвиг). Кроме того , что

здесь?

a

$a$

b

$b$

b

$b$

⌊ a x ⌋

$\lfloor a x \rfloor$

n

$n$

— Митч

Прости, Митч; Я забыл объяснить , что

было! Я добавил это к оригинальному сообщению. - Джим

n

$n$

— Джим Пропп

1

См. Случайное генерирование конечных слов Штурма по Berstel и Pocchiola для доказательства того, что допустимая область вашего LP имеет только три или четыре стороны, а также простой алгоритм для нахождения многоугольника с заданным наклоном и перехватом. (Они имеют дело с распознаванием слов Штурма, но проблемы тесно связаны.)

Они также дают явное перечисление полигонов, поэтому может быть возможно перечислить площади полигонов и диапазоны уклонов, чтобы вы могли получить ожидаемое значение диапазона уклонов (а также более высокие моменты ) как явная сумма.

— deinst
источник

4

Подход вычислительной геометрии заменяет каждый пиксель (i, j) вертикальным сегментом (i, j + [- 1 / 2,1 / 2]), принимает выпуклые оболочки верхнего и нижнего наборов конечных точек и вычисляет внутреннюю общую касательные - они ограничивают диапазон наклонов, которые производят эту цифровую линию. Это просто геометрическая интерпретация линейной программы, которую вы упоминаете в своих слайдах. O (n) времени достаточно для LP Меггиддо или для корпусов и касательных Грэма-Яо.

— Джек
источник

2

Как насчет стандартного метода преобразования Хафа, который используется для обнаружения линий при обработке изображений: http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform ?

Если вы хотите получить некоторую скорость, вы можете использовать рандомизированную версию HT.

— Марцио де Биаси
источник

1

Я не знаю какой-либо работы в cg (или любой другой группе по этому вопросу) по получению наклона из набора дискретных точек, но это больше отражает мое отсутствие знаний.
$\Delta y$ $\Delta x$ $x$ $y$ $x$ $y$

— Митч
источник

O (1 / n)

$O(1/n)$