Существование -аппроксимации доминирующего множества с ?

10

Рассмотрим проблему доминирующего множества в общих графах, и пусть будет количеством вершин в графе. Алгоритм жадного приближения дает гарантию приближения фактора , т. Е. В полиномиальное время можно найти решение такое, что , где - размер минимального доминирующего множества. Есть оценки , показывающие , что мы не можем улучшить зависимость много http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf . $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$

Мой вопрос: есть ли алгоритм приближения, который имеет гарантию с точки зрения вместо ? На графиках, где очень велико по отношению к оптимуму, приближение фактор- будет намного хуже, чем приближение фактор- . Известно ли что-то подобное или есть причины, по которым этого не может быть? Я доволен любым алгоритмом полиномиального времени, который выдает решение такое, что для некоторой константы . $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Барт Янсен
источник

14

Я думаю, что все еще открыто, если доминирующий набор или ударный набор имеют приближение af (OPT) для некоторой (нетривиальной) функции f. Это должен быть очень сложный (и, возможно, глубокий) вопрос. Я считаю это наиболее интересным вопросом в параметризованном приближении (наряду с аналогичным вопросом для Клики). Возможно, вы захотите взглянуть на мой опрос [1], в котором обсуждается это. Обратите внимание, что в более поздней работе [2] показано, что «выполнимость монотонной схемы для цепей утка-2», задача более общая, чем доминирующий набор, не имеет аппроксимации f (OPT) для любых f.

[1] Д. Маркс. Параметризованные алгоритмы сложности и аппроксимации. Компьютерный журнал, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] Д. Маркс. Абсолютно неприемлемые монотонные и антимонотонные параметризованные проблемы. В материалах 25-й ежегодной конференции IEEE по вычислительной сложности, Кембридж, Массачусетс, 181-187, 2010.

— Даниэль Маркс
источник

Спасибо за ссылки! Это хорошо отвечает на мой вопрос.

— Барт Янсен

Также может быть интересно взглянуть на следующую заметку Нельсона, которая показывает, что нельзя получить хорошие соотношения, которые зависят только от количества наборов. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Чандра Чекури

2

Это должен быть комментарий, так как он напрямую не отвечает на ваш вопрос, а связан с вопросом. Возможно, что аналогичная уловка из [1] даст вам ответ.

В [1] доказано следующее:

Даны граф и параметр . Не существует алгоритма FPT (параметризованного ), который либо: (a) возвращает независимый доминирующий набор в размером не менее , где - фиксированная функция, зависящая только от или (b), определяет что не имеет доминирующего множества размера . (... Если FPT = W [2].) $G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

Любой алгоритм за полиномиальное время, который возвращает независимый доминирующий набор размером не менее , подразумевает, как минимум, FPT = W [2]. $g(k)$

[1] Родни Г. Дауни, Майкл Р. Товарищи, Кэтрин Маккартин и Фрэнсис Розамонд. «Параметризованная аппроксимация задач с доминирующим множеством». Письма обработки информации, том 109, выпуск 1, декабрь 2008 года.

— Ruub
источник

1

Уловка в [1] основана на том факте, что Независимое Доминирующее Множество как задача максимизации не является монотонным: подмножество допустимого решения не обязательно является выполнимым (что обычно имеет место для задач максимизации, имеющих значимые аппроксимации). Поэтому вполне возможно, что каждое возможное решение имеет одинаковый размер, что делает аппроксимацию несущественной.

— Даниэль Маркс