Тэта-функция Ловаша и регулярные графы (в частности, нечетные циклы)

Сообщение связано с: /mathpro/59631/lovasz-theta-function-and-independence-number-of-product-of-simple-odd-cycles

Насколько далеко Lovasz связан с пропускной способностью регулярных графов с нулевой ошибкой? Есть ли примеры, когда известно, что оценка Ловаша не равна емкости регулярного графа с нулевой ошибкой? (Ответил ниже Александр Бондаренко.)

В частности, известно ли строгое неравенство для нечетных циклов сторон, больших или равных $7$ ?

Обновление Какие улучшения необходимы в спектральной теории для улучшения тэта-функции Ловаша, чтобы можно было уменьшить разрыв между емкостью Шеннона и тэтом Ловаша для случаев, когда существует разрыв? (Обратите внимание, я обеспокоен только со спектральной точки зрения)

graph-theory it.information-theory

— Т ....
источник

Я удалил свой неправильный ответ. Спасибо за исправление!

— Сянь-Чи Чанг 之之

Я не понимаю обновление, если есть разрыв между емкостью с нулевой ошибкой и

, как ее можно «понизить»?

ϑ

$\vartheta$

— Сашо Николов

Я думаю, что формулировка это плохо. Скажем,

- пропускная способность между

. Если можно было бы внести некоторые улучшения в технологию спектральной теории, чтобы новая методика давала более четкую верхнюю границу по сравнению с

когда

, что это могло бы улучшить в технологии спектральной теории? В основном, обновление спрашивает, стоит ли спектральной теории на сегодняшний день такие блоки для улучшения.

δ = ϑ - Θ

$\delta=\vartheta-\Theta$

ϑ

$\vartheta$

Θ

$\Theta$

ϑ

$\vartheta$

δ > 0

$\delta>0$

— T ....

$G$ $\Theta(G)$ $\acute{a}$ $\vartheta(G)$ $[1]$ $\ddot{a}$ $G$ $\Theta(G)\leqslant7<\vartheta(G)=9$

В отмечается, что «Самые известные верхние оценки и для нечетного и большего задаются тэта-функцией Ловаша ...». Из этого я делаю вывод, что ответ на ваш последний вопрос - нет (с тех пор я не знаю каких-либо улучшений по этому вопросу). $[2]$ $\Theta(C_m)$ $\Theta(\overline{C}_m)$ $m$ $5$

Поиск емкости Шеннона даже для был бы серьезным прорывом для этой сложной проблемы. Кроме того, можно заметить, что $C_7$

«неизвестно, может ли быть решена проблема определения, превышает ли емкость Шеннона заданного входного графа заданное значение».

У. Хемерс, “ О некоторых проблемах Lov $\acute{a}$ sharp sz, касающихся емкости графа Шеннона ”, IEEE Trans. по теории информации, вып. 25, нет 2, с. 231–232, март 1979 г.
Т. Боман, " Предельная теорема для емкостей Шеннона нечетных циклов. II ", Труды Американского математического общества, 2005.
Н. Алон, " Комбинаторные рассуждения в теории информации ".

— Александр бондаренко
источник

Большое спасибо. Известно ли то же самое для простых нечетных циклов? Например, сторонний многоугольник?

7

$7$

— T ....

ТАК это не известно. Это очень интересно.

— T ....

Тэта-функция Ловаша и регулярные графы (в частности, нечетные циклы) - связи со спектральной теорией