Полиномиальные алгоритмы для UPB (неопределяемые базы продуктов)

9

Рассмотрим гильбертово пространство $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$ , Неописуемая основа продукта (UPB) - это набор векторов продукта $\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ такой что:

а) все взаимно ортогональны $\vert v_i \rangle$

б) не существует вектора произведения, ортогонального всем $\vert v_i \rangle$

в) базис нетривиален, т.е. не охватывает $H$

(такие базы представляют интерес в квантовой информации)

Вопросов:

Существует ли полиномиальный алгоритм (по ) для поиска UPB? (обратите внимание, что в целом нет верхней границы для размера UPB, поэтому априори она может быть экспоненциальной по ) $n$ $n$
Существует ли полиномиальный алгоритм для проверки, является ли данный продукт базисом UPB? (т. е. не может быть продлен)

Или проблема NP-полная?

quantum-computing linear-algebra quantum-information

— Марчин Котовски
источник

Я в замешательстве ... разве стандартная основа для H не удовлетворяет условию UPB во всех случаях? Или есть какие-то другие условия, которые я пропускаю.

— Артем Казнатчеев

1

@Artem: условие, которое отсутствует, состоит в том, что число векторов строго меньше, чем размерность

H_{1} \otimes \dots \otimes H_{n}

$H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$ ,

— Питер Шор

7

Я немного озадачен вопросом (1). Неоправданная основа продукта существует в $H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ если $n\geq 3$ или если $n=2$ а также $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$ , Во всех этих случаях легко найти один.

Для вопроса (2) вопрос эквивалентен проверке, существует ли в подпространстве состояние тензорного произведения, которое является дополнением к пространству, натянутому на базис. Леонид Гурвиц показал, что проверка того, содержит ли общее подпространство тензорное произведение, сложна с точки зрения NP, поэтому я подозреваю, что и в этом случае это сложно.

— Питер Шор
источник

да, но я потенциально заинтересован в том, чтобы найти как можно больше неэквивалентных (скажем, в отношении местных унитарных) UPB. Полная классификация известна только для простых случаев, таких как 2x2x2.

— Марчин Котовски,

4

Полная классификация также известна для другого простого случая 3x3, который впервые рассматривается в статье http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

Результат также связан с построением произвольных запутанных состояний PPT 3x3 ранга четыре. Смотри газету

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .

— Лин Чен
источник