Каково «правильное» определение верхних и нижних границ?

Пусть $f(n)$ будет временем выполнения задачи на входе размера в худшем случае $n$. Давайте сделаем задачу немного странной, установив $f(n) = n^2$ для $n=2k$ но $f(n) = n$ для $n=2k+1$ .

1. Итак, какова нижняя граница проблемы? Насколько я понял, это просто нижняя граница $f(n)$ . Но мы знаем, что $f(n) = \Omega(n^2)$ означает, что существует постоянная $k$ , $n_0$ такая, что для всех $n > n_0$ , $f(n) > kn^2$ , что неверно. Таким образом, кажется, что мы можем только сказать $f(n) = \Omega(n)$, Но обычно мы будем называть проблему нижней границей $\Omega(n^2)$ , верно?

2. Предполагая, что $g(n) = \Omega(n^2)$ , это означает, что существует постоянная $k$ , $n_0$ такая, что для всех $n > n_0$ , $g(n) > kn^2$ . Давайте также предположим, что проблема имеет время выполнения $g(n)$ . Если мы можем свести эту проблему для всех простых чисел $n$ к другой задаче (с тем же размером ввода), можем ли мы сказать, что время выполнения другой задачи имеет нижнюю границу $\Omega(n^2)$ ?

Правильное определение состоит в том, что существует некоторое такое, что для бесконечного числа , . Бесконечно часто встречающееся определение нижних границ решает ваши проблемы и показывает, как мы используем его на практике.$f(n)=\Omega(n^2)$$k>0$$n$$f(n)\geq kn^2$

Я сделал пост по этому вопросу еще в 2005 году.

Некоторые учебники дают правильное определение, а некоторые нет.

С определением Кнута вы можете утверждать только . Как вы заметили, это не интуитивно понятно и происходит для функций, которые Витани и Меертенс называют «дикими». Они предлагают определить$f(n)\in\Omega(n)$

(Это то же самое, что и определение Ланса.) С этим определением .$f(n)\in\Omega(n^2)$

Я не знаю о наиболее широко используемых, но я думаю, что я знаю о самом старом использовании (для компьютерных наук в любом случае).

В статье Хартманиса и Стернса "О вычислительной сложности алгоритмов", написанной в 1965 году, следствие 2.1:

Если и такие функции времени, что то$U$$T$$\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$$S_{U} \subseteq S_{T}$

где - класс сложности всех задач, вычислимых в . T (n) должен подчиняться для некоторого целого числа и всех и , но оно не должно быть конструируемым по времени.$S_{K}$$O( K(n) )$$T(n) \geq n/k$$k$$n$$T(n) \leq T(n+1)$

Ваша функция подчиняется первому правилу для но не подчиняется второму правилу.$k = 1$

Следствие 2.2 является ответом на вышесказанное и использует верхний предел, но все еще имеет эти требования. Я предполагаю, что с годами алгоритмы усложнялись, возможно, что требования были смягчены.

Я думаю, что мы должны различать две вещи:

• нижний предел для функции
• нижний предел для проблемы (алгоритм)

Для функций, когда мы фиксируем порядок, из него следует определение нижнего / верхнего предела . Если отношение порядка является асимптотическим мажорированием (без учета постоянных факторов)

тогда определение является обычным определением и . Оба они широко используются в других областях, таких как комбинаторика.$O$$\Omega$

Но когда мы говорим о нижней границе задачи (алгоритме), мы действительно хотим сказать, что проблема требует определенного количества ресурсов (для запуска алгоритма, решающего проблему). Часто классы сложности параметризуются такими функциями, как , и мы просто говорим, что задача ограничена снизу функцией, но это работает только для хороших функций (например, время выполнения алгоритма является монотонным и т. д.). Что мы хотим сказать в этих случаях, так это то, что нам нужно времени выполнения для решения проблемы, т. Е. Меньше времени работы недостаточно, что формально становится определением Ланса, что время выполнения алгоритма не .$\mathbf{Time}(t(n))$$n^2$$n^2$$o(t(n))$