NP-твердость частного случая нумерации

Рассмотрим следующую проблему:

Учитывая набор из положительных чисел в которых является константой, мы хотим разбить набор на подмножеств размера так, чтобы произведение суммы каждого подмножества максимально $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

Эта проблема очень похожа на хорошо известное разбиение номеров way, за исключением того, что у нас есть ограничение на число номеров в каждом разделе. Для может быть предложен следующий простой полиномиальный алгоритм, $m$ $k = 2$

предположим, что числа отсортированы, то . Затем для назначьте подмножеству , для назначьте его подмножеству . $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

Нетрудно понять, почему алгоритм работает. Просто выберите две произвольные корзины. Любой обмен числами не приведет к увеличению количества товара.

Но для больших я задаюсь вопросом, может ли проблема быть решена за полиномиальное время или нет? Я был бы также благодарен, если бы кто-то мог показать это нп-твердость. $k$

Примечание. Я столкнулся с проблемой, когда работал над проблемой планирования в беспроводных сетях. Я нашел хороший эвристический алгоритм для решения проблемы. Но через некоторое время я подумал, что проблема может быть теоретически интересной.

— гелий
источник

k = 2

$k=2$

@ Мохсен, спасибо. Я бы посоветовал вам включить в вопрос эти комментарии о мотивации, предыстории и том, что вы знаете о случае k = 2. Это, вероятно, сделает его более интересным для других.

— Каве

Моя интуиция заключается в том, что произведение суммы каждого подмножества максимизируется, когда суммы равны или максимальная парная разница минимальна. В этом предположении мы получаем легкое сокращение от 3-разбиения, являющегося NP-полным (для k = 3).

— Мухаммед Аль-Туркистани

(Я удалил два комментария, которые я разместил несколько часов назад, чтобы переписать их более точно.) Как предположил Туркистани, проблема k-разбиения сводится к этой проблеме, и поэтому эта проблема NP-трудна для каждой константы k≥3. Единственное релевантное свойство заключается в том, что максимум произведения сумм составляет не менее (∑a_i / k) ^ m тогда и только тогда, когда числа можно разбить на m множеств, каждый из которых имеет размер k, у которого все суммы равны. Произведение не всегда максимизируется разделением, которое минимизирует максимальную попарную разницу, но это не имеет значения, пока мы рассматриваем точную проблему. (подробнее)

— Цуёси Ито

(продолжение) Если требуется, чтобы входные данные были набором, а не мультимножеством , это сокращение по-прежнему работает, поскольку проблема k-разбиения остается NP-полной даже с набором, но будьте осторожны, поскольку стандартное доказательство NP-полноты проблема с 3 разделами работает только тогда, когда входные данные могут содержать одно и то же целое число более одного раза. См. Вычислительная сложность задачи с 3 разделами с различными числами (осторожно: самореклама).

— Цуёси Ито

(Это немного более подробная версия моих комментариев по этому вопросу.)

Как Туркистани предложил в комментарии к вопросу, эта проблема является NP-трудной для каждой константы k ≥3 путем сокращения от проблемы k- разбиения. Сокращение не меняет экземпляров вообще: просто обратите внимание, что максимум произведения сумм составляет, по крайней мере, ( _i a _i / k ) ^m тогда и только тогда, когда числа могут быть разбиты на m множеств, каждый из которых имеет размер k , суммы которого равны все равны.

Обратите внимание, что входные данные для проблемы k- разбиения обычно определяются как числа км, которые могут быть не все различны , и это важно в стандартном доказательстве его NP-полноты (например, в Garey и Johnson ). Таким образом, приведенное выше сокращение лишь доказывает трудность NP небольшого обобщения текущей проблемы, когда вход разрешается быть мультимножеством, а не множеством. Однако этот пробел может быть заполнен, потому что проблема k- разбиения остается NP-полной, даже если требуется, чтобы числа во входных данных были различны; см. [HWW08] для случая k = 3 (см. также ответ Сержа Гасперсана другой вопрос), который можно легко изменить для больших значений k .

Кроме того, все, что здесь указано, остается NP-полным / NP-сложным, даже если числа на входе даны в одинарном виде.

[HWW08] Хизер Хьюлетт, Тодд Дж. Уилл, Герхард Дж. Вёджингер. Мультиграф реализации последовательностей степеней: максимизация проста, минимизация трудна. Письма об исследовании операций , 36 (5): 594–596, сентябрь 2008 г. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— Цуёси Ито
источник