Конструкции лучше случайных.

10

Меня интересуют примеры конструкций в теории сложности, которые лучше случайных.

Я знаю только один пример такой конструкции в области кодов, исправляющих ошибки. Коды алгебраической геометрии лучше в некотором диапазоне параметров, чем случайные коды.

Можно легко построить такие искусственные примеры. Меня интересуют примеры, такие как коды алгебраической геометрии, где легко создать случайную конструкцию и не очевидно, как это сделать лучше.

— клим
источник

7

Этот вопрос ужасно расплывчатый. Пожалуйста, по крайней мере, укажите, о какой области вы говорите.

— Дэйв Кларк,

Я добавил тег [большой список] и отметил его для внимания модератора, попросив его сделать этот вопрос вики-сообществом.

— Цуёси Ито

4

Мне нравится вопрос, но мы можем как-то ограничить сферу. Понятно, что такие вещи, как конечные группы, проективные плоскости и т. Д., Если вы правильно их параметризуете (например, количество триплетов, нарушающих ассоциативность), будут иметь гораздо лучшие параметры, чем случайные конструкции.

— Питер Шор

Я согласен, что вопрос неясен. Я не как ограничить сферу. Любые предложения приветствуются. Меня интересуют интересные примеры. Например, когда долгое время случайная конструкция была лучшей, и чтобы ее победить, нужны нетривиальные идеи.

— Клим

@ Дэйв, не уверен, что это должен быть тег CW или [большой список], если вопрос неопределенный, мы должны попросить OP прояснить его, обратите внимание, что CW необратим. ИМХО, такой вопрос может быть изменен таким образом, что он должен быть вопросом большого списка.

— Каве

11

Рамануджанские графы имеют второе собственное значение (с степенью графа), тогда как случайные графы достигают только whp На самом деле, в общем случае мы имеем , причем слагаемое, идущее к с сохраняемым постоянным (как число вершин ), поэтому в некотором смысле они являются оптимальными. $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D}$ $D$ $\lambda_2\leq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} + o(1)$ $\lambda_2\geq \frac{2\sqrt{D-1}}{D} - o(1)$ $o(1)$ $0$ $D$ $N\rightarrow \infty$

— alpoge
источник

10

Существует конструкция Беренда большого подмножества которое не содержит трех элементов в арифметической прогрессии (сокращенно 3AP-free). Случайное подмножество размером , скажем, будет содержать множество арифметических прогрессий длины-3, но Беренд создаст набор без 3AP размера . $\{ 1,\ldots,N \}$ $\{ 1,\ldots,N\}$ $N^{0.9}$ $N^{1-o(1)}$

— Лука Тревизан
источник

6

Возможно, это не совсем то, что вы ищете, но Джефф Лагариас и я (позже улучшенный Макки) придумали мозаичные кубы пространств больших размеров, которые являются контрпримерами к гипотезе Келлера , то есть мозаичные элементы измерений с единичными кубами, где нет двух кубы встречаются в полном ( ) -мерном лице. Кажется маловероятным, что случайные наклоны дадут контрпримеры. $n$ $n-1$

— Питер Шор
источник

5

Как правило, случайные конструкции и жадные конструкции достигают одинаковых границ (например, коды с исправлением ошибок). Однажды я услышал выступление Ловаша, в котором он сказал, что жадные и случайные выборы по сути одинаковы. Итак, любая конструкция, которая побеждает жадную конструкцию, должна дать ответ на ваш вопрос. В качестве быстрого примера, конструкции, которые достигают способности графов Спернера, относятся к этому виду. Как сказал Питер Шор, примеров экстремальной комбинаторики действительно много.

— Уго
источник