Евклидово-квадратный макс-разрез в низких размерах

Пусть $x_1, \ldots, x_n$ - точки на плоскости $\mathbb{R}^2$ . Рассмотрим полный граф с точками в виде вершин и весами ребер . Вы всегда можете найти вес, который составляет не менее от общего веса? Если нет, то какая константа должна заменить ? $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Худший пример, который я могу найти, - это 3 точки на равностороннем треугольнике, что дает $\frac 2 3$ . Обратите внимание, что случайное разделение приведет к $\frac 1 2$ , но кажется интуитивно очевидным, что в низких измерениях можно кластеризовать лучше, чем случайно.

Что происходит для max-k-cut при k> 2? Как насчет измерения d> 2? Есть ли рамки для ответа на такие вопросы? Я знаю о неравенствах Чигера, но они применимы к разреженным (не максимальным) и работают только для регулярных графиков.

(Вопрос вдохновлен проблемой кластеризации источников света в компьютерной графике для минимизации дисперсии).

— Милос Хасан
источник

Существует простое приближение 1-2 / k для Max k-Cut, и для k> 2 вы можете найти хороший большой разрез, но для k = 2 вы можете увидеть www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf и связанные с этим темы, я думаю, что если вы найдете хорошее сокращение с высокой вероятностью, вы можете сказать, что есть сокращение с 2/3 или нет, по крайней мере диапазон возможностей будет ограничен.

— Саид

заметьте, однако, что весовая функция здесь - это КВАДРАТНОЕ евклидово расстояние, которое не является метрикой.

— Суреш Венкат

Я бы предположил, что у max cut есть ptas, или, может быть, даже алгоритм polytime для этих случаев, но конкретный вопрос очень интересен. Понятно ли, каково максимальное сечение, когда вершины расположены на равном расстоянии друг от друга по циклу, и что пример в этом классе, который минимизирует максимальное сечение, - это три равных расстояния вершины? Потому что может быть аргумент, который показывает, что каждая конфигурация точек может быть преобразована в «симметричную» конфигурацию без увеличения отношения максимального среза к общему весу, и поэтому может быть достаточно понять только высокосимметричные конфигурации

— Лука Тревизан

Кроме того, что происходит в одном измерении? Можно найти конфигурацию, для которой максимальное сокращение составляет приблизительно 2/3 от общего веса (одна точка равна -1, одна точка равна +1, 4 точки очень близки к нулю; общий вес равен 12, а оптимальный это 8). Является ли 2/3 наименьшим возможным отношением максимального разреза к общему весу в 1 измерении?

— Лука Тревизан

@ Лука: Да, 1D тоже не тривиально. Интуитивно понятно, что константа должна приближаться к 1/2 при увеличении размера. Для двумерного случая мы могли бы предположить, что центр тяжести находится в точке (0,0) и что все точки соответствуют единичной окружности. Может быть какой-то аргумент «отталкивания точек», который выталкивает точки к окружности, не увеличивая вес, что помогло бы, но я не мог его закрепить.

— Милош Хасан

Ответы:

Константа имеет тенденцию к 1/2 при увеличении размера. В измерениях d вы можете иметь d + 1 точку на расстоянии один от другого, поэтому сумма квадратов расстояний равна а максимальный разрез не более , которая представляет собой часть общего веса ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Лука Тревизан
источник

Хорошо, но почему конфигурация точек d + 1 на расстоянии 1 друг от друга представляет собой наихудший случай? Это кажется правдоподобным, но очевидно ли это? (А для d = 1 две точки на расстоянии 1 друг от друга явно не наихудший случай; приведенная выше конфигурация с 6 точками хуже. Может быть, d = 1 - единственный патологический случай, и он работает для d> = 2?)

— Милош Хасан

@milos Я не уверен, что понимаю. мы знаем, что 0,5 достижимо, и этот пример показывает, что вы не можете добиться большего успеха. Однако это не нарушает гипотезу 2/3 для самолета.

— Суреш Венкат

@Suresh: То, что я действительно хотел получить, это доказать, что вы можете добиться большего успеха в низких измерениях, то есть меня интересует последовательность фактических значений худших констант для конкретных низких значений d.

— Милош Хасан

Я действительно хотел доказать фактический разрыв между 1/2 и 2/3 для низкого d. Это может иметь интересные последствия, то есть то, что вы можете превзойти суммирование / интеграцию по методу Монте-Карло (путем умелого, а не случайного разбиения своей задачи на подзадачи), если ваша проблема по своей сути низкоразмерна (любой из них есть).

— Милош Хасан

Хотя это только ответ для больших d, он показывает, какие трудности могут возникнуть при анализе случая малых d. Предположим, что в 2-х измерениях у вас может быть пять точек, у которых попарно квадрат расстояния находится между 1 и 1.1. Тогда общий вес составляет не менее 10, а максимальный срез не более 6,6. Если 2/3 является правильным ответом для двух измерений, вы должны показать, что если у вас есть пять точек, в которых все попарно евклидовы расстояния равны по крайней мере одному, одно из попарно евклидовых расстояний по крайней мере . Как вы утверждаете это?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Лука Тревизан

Возьмите 3 точки A, B, C на равностороннем треугольнике и добавьте еще 3 точки D, E, F в центре. Ясно, что вы хотите получить два из A, B, C на одной стороне разреза, поэтому предположим, что разрез этих трех точек равен (AB; C). Теперь каждая из точек D, E, F должна идти со стороны C разреза, поэтому оптимальный разрез равен (AB; CDEF), и соотношение легко проверить как 2/3.

Теперь немного отодвиньте каждую из точек D, E, F от центра, чтобы сформировать небольшой равносторонний треугольник. Не имеет значения, в каком направлении, если они симметричны относительно центра. Если вы перемещаете их на достаточно малое расстояние, оптимальный срез все равно должен быть (AB; CDEF). Рассмотрим длину этого разреза. Ребра (AC, BC) составляют 2/3 от общей длины ребер (AB, BC, AC). По симметрии общая длина ребер (AD, AE, AF, BD, BE, BF) составляет 2/3 длины ребер (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Но ни один из ребер (DE, EF, DF) не в разрезе. Таким образом, соотношение этого разреза строго меньше, чем 2/3.

Вы должны быть в состоянии оптимизировать эту конструкцию, чтобы найти конфигурацию, в которой оптимальный срез значительно меньше 2/3. Пробуя это, я получаю, что если вы возьмете шесть точек, расположенных в двух равносторонних треугольниках, имеющих один и тот же центр, с меньшим размером большего, то максимум становится общий вес вместо . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Питер Шор
источник

Здорово, ты прав! Что ж, еще одна изящная гипотеза кусает пыль ... Однако остается открытым вопрос, является ли постоянная на плоскости больше 1/2 или можно ли достичь с помощью кластеров где . Я подумаю об этом больше.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Милош Хасан

Я предполагаю, что правильный ответ - это что-то не слишком низкое, чем 0,64, но я понятия не имею, как показать нижнюю границу.

— Питер Шор