Можно ли усилить P = NP за пределами P = PH?

В описательной сложности Иммерман имеет

Следствие 7.23. Следующие условия эквивалентны:
1. P = NP.
2. Над конечными упорядоченными структурами FO (LFP) = SO.

Это можно рассматривать как «усиление» P = NP до эквивалентного утверждения над (предположительно) классами большей сложности. Обратите внимание, что SO захватывает иерархию PH полиномиального времени, а FO (LFP) захватывает P, поэтому это можно рассматривать как P = NP, если P = PH.

(Интересной частью этого является утверждение, что P = NP подразумевает P = PH; тривиально, что P = CC подразумевает P = NP для любого класса CC, содержащего NP. Иммерман просто замечает: «если P = NP, то PH = NP» , предположительно потому, что P = NP может использоваться с оракуловым определением PH, чтобы индуктивно показать, что вся иерархия разрушается.)

Мой вопрос:

Насколько дальше можно усилить P = NP таким образом?

В частности, какой самый большой известный класс CC 'такой, что P = NP подразумевает P = CC', а самый маленький класс CC такой, что P = NP подразумевает CC = NP? Это позволило бы заменить P = NP эквивалентным вопросом CC = CC '. P представляется довольно мощным классом, который, кажется, предоставляет небольшую «комнату для маневра» для аргументов, пытающихся отделить его от NP: как далеко можно увеличить комнату для маневра?

Я, конечно, также был бы заинтересован в аргументе, который показывает, что P = PH является пределом этого подхода.

Изменить: обратите внимание на тесно связанный вопрос Почему P = NP не подразумевает P = AP (то есть P = PSPACE)? который фокусируется на другом направлении, почему у нас нет доказательств того, что P = PSPACE. Ответы там Каве и Питера Шора утверждают, что количество фиксируемых чередований является ключевым. Другой связанный с этим вопрос - это проблема решения, которая, как известно, не находится в PH, но будет в P, если P = NP, который запрашивает потенциальную проблему; ответы там также могут быть использованы для построения ответов на этот вопрос, хотя эти классы несколько искусственны (спасибо Tsuyoshi Ito за указание на это). В более общей ситуации, Свертывание экспирации и чередование ограниченных машин Тьюринга спрашивает, вызывает ли локальный коллапс на любом уровне в иерархии чередования коллапс вверх, как это происходит с иерархией полиномиального времени.

Из комментария Рассела Импальяццо :

В качестве способа формализации языков в если , Риган ввел класс сложности . Язык в тогда и только тогда , когда находится в по отношению к каждому оракулу так , что . Таким образом, находится в если утверждение релятивизируется. $\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$, Из теоремы Тоды и некоторых лемм в теореме Тоды также верно, что для каждого . По сути, любой оракул, удовлетворяющий дает новую верхнюю границу для . Открыто ли .$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

И из комментария Ланса Фортнау :

Пусть - любая неограниченная функция. не содержится в и если вы можете доказать, что подразумевает затем отличается от .$f(n)$$\mathsf{H}$$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

Для определения см. Определение 6.3 в$\mathsf{H}$

• Кеннет В. Риган, " Наборы указателей и презентации классов сложности ", 1999

Как я уже писал в своем ответе на другой вопрос, давайте сделаем аргумент конструктивным и равномерным по числу чередований, предоставив алгоритм, который решает предполагая, что у нас есть алгоритм полиномиального времени для SAT, и посмотрим, что мы получим, если не является постоянным.$\Sigma^P_k$$k$

Пусть будет DTM с двумя входами и . Думайте об этом как о верификаторе проблемы .$M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

Пусть - это алгоритм, который преобразует TM в схему размера которая вычисляет на входах размера для шагов.$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

Предположим, что и существует детерминированный алгоритм который решает проблему расширения сертификата Circuit-SAT за время .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

С помощью этих ингредиентов мы определяем алгоритм для TQBF, который при заданной количественной булевой формуле рекурсивно удаляет самый внутренний квантификатор и заменяет его на свободный квантификатор. Пусть будет размером формулы на м шаге, тогда мы имеем . Если формула имеет квантификаторов, мы получим где - размер формулы TQBF, заданной в качестве входных данных.$s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$

Если константа, то . Поскольку значение схемы находится в у нас есть алгоритм за полиномиальное время.$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

Если то больше не является полиномиальным временем, мы получаем алгоритм, который находится в . Например, если мы получаем алгоритм квазиполиномиального времени. Для мы не получаем ничего нетривиального.$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

Я думаю, что нас действительно интересует самый большой класс такой что где - достаточно сильная теория, чтобы формализовать все наши текущие результаты (например, вы можете считать это ), потому что основной смысл этих результатов заключается в упрощении доказательства .$C$

Если мы возьмем более слабые теории результат все еще может быть интересно, но это на самом деле не верхняя граница наибольшего значения . Когда Риган использует релятивизацию для определения он по существу ограничивает аргументы теми, которые релятивизируются. Если мы используем результат, который не релятивизируется, мы можем получить больший класс, чем , который будет равен если .$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

В качестве более философской заметки мне лично не нравится идея думать о релятивизации как об альтернативных реальностях или мирах. Утверждения в «релятивизированных мирах» сами по себе не дают нам никакой информации об утверждении в нерелятивизированной обстановке. В качестве примера этого возьмем который большинство из нас не считает верным, но релятивизированная версия является истинной, со случайным оракулом с вероятностью 1. В качестве другого примера возьмем который является истинным, но становится ложным относительно случайного оракула с вероятностью 1.$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

Я также нахожу идею, что существует только один правильный способ релятивизации класса сложности, проблематичный, который вызывает много неправильных представлений (например, релятивизация мышления как функциональная операция над классами сложности в их экстенсиональном смысле, релятивизация - это модификация модели вычислений). , а не класс функций или языков). Я думаю, что просмотр релятивизаций как модифицированных (интерактивных) вычислительных сред более полезен. Таким образом, есть много полезных способов релятивизации классов сложности (в его намеренном смысле). Чтобы получить любую информацию о нерелятивизированном сеттинге из релятивизированной структуры, нам нужен какой-то принцип переноса, аналогичный принципу переноса в нестандартном анализе., Обратите внимание, что выбор определенного метода релятивизации для классов, которые сохраняют известные отношения между классами, не дает нам принцип переноса (это основные критерии, которые обычно используются в литературе для определения «правильной» релятивизации класса).