Являются ли

В настоящее время решается либо полная проблема, либоP S P A C $NP$$PSPACE$ complete в общем случае невозможно для больших входов. Однако оба они разрешимы в экспоненциальном времени и в полиномиальном пространстве.

Поскольку мы не можем создавать недетерминированные или «счастливые» компьютеры, имеет ли это какое-то значение для нас, если проблема является -полной или P S P A C E -полной?$NP$$PSPACE$

Это очень хороший вопрос, о котором я много думал: влияет ли тот факт, что проблема является -полной или P S P A C E -полной, на самом деле сложность проблемы в наихудшем случае во времени? $NP$$PSPACE$Более размыто, действительно ли такое различие влияет на сложность проблемы «типичного случая» на практике?

Интуиция говорит , что -полной проблема сложнее , чем N P -полных один, независимо от того, какой степени сложности вы используете. Но ситуация тонкая. Это может быть, например, то, что Q B F (количественные булевы формулы, каноническая P S P A C E -полная задача) находится в субэкспоненциальном времени тогда и только тогда, когда S A T (Удовлетворенность, каноническая N $PSPACE$$NP$$QBF$$PSPACE$$SAT$$NP$проблема в субэкспоненциальном времени. (Одно направление очевидно; другое направление будет основным результатом!) Если это так, то, возможно, с точки зрения «Я просто хочу решить эту проблему», не имеет большого значения, является ли проблема -комплект или N $PSPACE$$NP$ -полный: в любом случае, субэкспоненциальным алгоритм одного подразумевает субэкспоненциальный алгоритм для других.

Позвольте мне быть защитником дьявола и привести вам пример, когда одна проблема оказывается «сложнее», чем другая, но, тем не менее, оказывается «более решительной», чем другая.

Пусть - булева формула для n переменных, где n - четное. Предположим, у вас есть выбор между двумя формулами, которые вы хотите решить:$F(x_1,\ldots,x_{n})$$n$$n$

.$\Phi_1 = (\exists x_1)(\exists x_2)\cdots (\exists x_{n-1})(\exists x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$

$\Phi_2 = (\exists x_1)(\forall x_2)\cdots (\exists x_{n-1}(\forall x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$

(То есть в $\Phi_2$ , квантификаторов чередуются.)

Как вы думаете, какой из них легче решить? Формулы типа или формулы типа Φ $\Phi_1$$\Phi_2$ ?

Можно было бы подумать , что очевидный выбор , как это только Н Р -полное , чтобы решить его, тогда как Ф 2 является Р С Р С Й -полной проблемой. Но на самом деле, по нашим наиболее известным алгоритмам, Φ 2 является более простой задачей. Мы не знаем, как решить Φ 1 для общего F менее чем за 2 n шагов. (Если бы мы могли сделать это, у нас были бы новые нижние границы размера формулы!) Но Φ 2 может быть легко решена для любого F в рандомизированном $\Phi_1$$NP$$\Phi_2$$PSPACE$$\Phi_2$$\Phi_1$$F$$2^n$$\Phi_2$$F$ время, используя рандомизированный поиск по дереву игр! Для справки см. Главу 2, раздел 2.1, в Мотвани и Рагхаване.$O(2^{.793 n})$

Интуиция является то , что добавление кванторов фактически ограничивает проблему , что делает его легче решить, а не труднее. Алгоритм поиска по дереву игр в значительной степени зависит от наличия чередующихся квантификаторов и не может обрабатывать произвольные квантификации. Тем не менее, остается факт, что проблемы могут иногда становиться «проще» под одной мерой сложности, даже если они могут выглядеть «сложнее» под другой мерой.

Это имеет значение, потому что на карту поставлено больше, чем то, сможем ли мы найти решения. Также интересно, можем ли мы проверить решения. Могут быть сделаны и другие качественные различия между сложностью задач, но для NP и классов с большей сложностью это будет тот, который я бы назвал наиболее важным.

Для задач решения - задач, на которые у каждого экземпляра есть ответ « ДА » или « НЕТ » - NP - это именно тот класс задач, для которого мы можем эффективно проверить предполагаемое доказательство того, что данный экземпляр является экземпляром « ДА », детерминистически, если мы представлены с одним. Например, если у вас есть удовлетворительное назначение переменных для экземпляра 3-SAT, это назначение позволяет вам эффективно доказать, что экземпляр выполним. Такое удовлетворительное задание может быть трудно найти, но если оно у вас есть, вы можете легко доказать другим, что этот экземпляр выполним, просто убедив их проверить решение, которое вы нашли.

Аналогично, для coNP существуют эффективно проверяемые доказательства для случаев « НЕТ »; и для проблем в NP  ∩  coNP , вы можете сделать оба. Но для PSPACE- неполных задач таких процедур не существует - если только вы не можете доказать довольно впечатляющие равенства классов сложности.

Мы не знаем, как построить сложные проблемы в среднем случае из (наихудшего) NP-полных задач, но мы можем сделать это для PSPACE (см. Köbler & Schuler (1998) ), чтобы создать проблемы даже для равномерного распределения, которое не может быть решается на большинстве входов, если не все PSPACE легко вычислить.

С практической стороны важно помнить, что NP-полнота не является барьером для многих проблем на практике. Сдвоенные инструменты решателей SAT и CPLEX (для целочисленного линейного программирования) достаточно мощны и достаточно хорошо спроектированы, чтобы часто можно было решать большие случаи проблем с NP-завершением, либо обрамляя проблему как подходящий ILP, либо сокращая до SAT.

Я не знаю о так же хорошо спроектированных решениях для проблем в PSPACE.

Вы можете подумать об этом следующим образом: есть ли у математической задачи доказательство, которое может быть прочитано человеком, или оно по сути требует «компьютерного доказательства». Примеры: является ли начальная позиция шашек ничьей? (Ответ: да.) Является ли стартовая позиция в шахматах победой белых? (Ответ: неизвестно, но большинство гроссмейстеров считают, что это ничья.)

Доказательство того, что начальная позиция шашек является ничьей, в конечном итоге требует признания того, что компьютер действительно точно проверял множество особых случаев. Если доказательства о шахматах когда-либо существуют, то, вероятно, потребуется, чтобы читатели смирились с тем, что компьютер правильно проверял даже более особые случаи. И вполне может быть, что нет более короткого способа доказательства этих утверждений. Это проблемы в PSPACE. Если в NP проблема "праведна", то (интуитивно) человек может держать все доказательства в своей голове. Этот человек, возможно, должен быть очень специализированным математиком, конечно.

$n^{1000000}$

В дополнение к комментарию Суреша, на практике существует большая разница. Существуют эвристические методы, позволяющие использовать структуру практических экземпляров SAT и достигать превосходной производительности (здесь я имею в виду решателей для обучения, основанного на конфликтах). Та же эвристика не приводит к аналогичным улучшениям производительности в решателях QBF.

Разница между доказательством и проверкой также обнаруживается. Некоторые решатели SAT (такие как MiniSAT 1.14 и множество других) предоставляют доказательства. Создание доказательств в современных решателях QBF нетривиально. (Следующее утверждение взято из слухов) В соревновании QBF есть большие случаи, когда решатели, очевидно, дают разные результаты. В отсутствие корректирующих решателей мы не знаем, какой результат является правильным.

Если вы посмотрите на практические результаты по SAT и шахматам, то есть разница - проблемы с NP-полнее поддаются решению, чем задачи с PSPACE. SAT решатели сегодня могут обрабатывать более тысячи переменных, но лучший шахматный движок, в то же время, может рассчитывать только до 20 ходов.

Я думаю, это из-за структуры проблем. Да, если вы просто перечисляете решения, SAT-решение работает очень медленно. Но поскольку в нем нет чередования кванторов, люди обнаруживают структуры в формуле и, следовательно, избегают значительного количества перечислений. Я думаю, что Райан Уильямс упустил из виду этот момент.

С чередованием кванторов, да, есть умные методы сокращения, но все же структура не так богата, как в формуле CNF.

Позвольте мне предсказать будущее. SAT-решение превратится в P, изучив формулу и по существу избегая поиска, в то время как шахматы дойдут до P, воспользовавшись поиском в дереве игры.