Обоснование log f в теореме DTIME об иерархии

Если мы посмотрим на теорему об иерархии DTIME, то получим журнал из-за накладных расходов при моделировании детерминированной машины Тьюринга на универсальной машине:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

У нас нет такого рода накладных расходов на NTIME из DSPACE. Основное обоснование исходит из деталей доказательства, учитывая разницу между симуляторами.

Мой вопрос заключается в следующем: не принимая во внимание детали доказательства теоремы об иерархии DTIME, есть ли обоснование этого журнала или это может быть просто следствием доказательства, и было бы разумно представить, что если тогда $f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

На мой взгляд, если принять во внимание, что объяснение симуляции является хорошим обоснованием, то это само по себе должно быть оправдано доказательством того, что если бы у нас был лучший результат, то мы могли бы создать лучшую симуляцию.

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— Людовик Патей
источник

Я думаю, что то, что вы написали в последнем абзаце, менее вероятно, чем его противоположность. А именно, я не думаю, что в настоящее время мы можем исключить возможность того, что более сильное утверждение может быть доказано с помощью метода, отличного от моделирования. С другой стороны, мы могли бы исключить возможность того, что более сильное утверждение может быть доказано путем моделирования путем построения релятивизированного мира, в котором более сильное утверждение не выполняется.

— Цуёси Ито

Насколько я понимаю, сокращение накладных расходов на в теореме о детерминированной иерархии времени было бы прорывным результатом. С одной стороны, несколько результатов могут быть немедленно усилены.

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— Андрас Саламон

Это несколько педантично, но если у вас нет дополнительных ограничений на f и g (стандартным было бы f и g, которые могут быть построены по времени), существуют такие f и g, что f = o (g) и DTIME (f) = DTIME (г). Чтобы увидеть это, просто рассмотрим несчетное множество всех функций x ^ i, где i real, 0 <i <= 1. Если бы теорема иерархии времени была верной для всех пар таких функций, то мы получили бы несчетное множество языки, все разрешимые машинами Тьюринга. Это противоречит тому, что множество машин Тьюринга счетно.

— Абель Молина

@abel Я, конечно, предполагаю, что f и g являются конструируемыми во времени, как в теореме иерархии текущего времени.

— Людовик Пати

да, есть оправдание, глядя на текущее доказательство, но полный ответ на эту проблему / вопрос доказал бы его необходимость, а не просто достаточную. то есть, как комментирует AS выше, более жесткая граница является открытой проблемой. в работе hopcroft / ullman 1976 г. они указывают, что log (n) -фактор обусловлен сокращением многолинейной ТМ в 2-лентную ТМ, а также имеют соответствующие доказательства этого сокращения. (наряду с этим вопросом , однако, всегда задавались вопрос, как ТГМЫ иерархии будут выглядеть по- разному для теории сложности на основе одной ленты ДЧА вместо одной , что позволяет Многоленточный ТМ кажется связанными с этим вопросом.)

— ВЗНА

Ответы:

Теорема о временной иерархии является предметом моего дипломного проекта, возможно, вы хотите просмотреть комментарии к моему вопросу « Нижние границы и разделение классов» .

Оглядываясь назад на этот вопрос и на то, как он соотносится с тем, что вы спрашиваете, у меня появилась идея, которая может показать, что накладные расходы, связанные с симуляцией ТМТ с одной лентой, необходимые для доказательства теоремы, не могут быть улучшены. Таким образом, нужен другой подход, если мы хотим улучшить этот результат.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это доказательство является неправильным, см. Комментарии ниже для точной причины. В настоящее время я редактирую ответ, чтобы отразить это.

Пусть будет языком . $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

На одной ленточной машине есть алгоритм (подробности этого алгоритма можно найти в главе 7.1.2 книги Сипсера «Введение в теорию вычислений»). В той же ссылке вы можете видеть, что язык находится в o (n \ log n) тогда и только тогда, когда он регулярный. Kaveh также предоставляет оригинальные документы для этого утверждения в вопросе, связанном выше. $O(n \log n)$

В комментариях к моему вопросу Райан Уильямс иллюстрирует алгоритм для той же проблемы, используя 2-лентную ТМ. $O(n)$

Предположим теперь, что существует метод для моделирования многолентовой ТМ в одну ленточную ТМ, которая имеет время работы , где - это время работы моделируемой ТМ. Применяя его к машине, которую иллюстрирует Райан, мы получили бы одну ленту TM, которая работала бы в . Следовательно, регулярно, что противоречит. Итак, мы заключаем, что издержки $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$ это лучшее, что мы можем сделать при моделировании многоленточных машин с одноленточными машинами.

Я понимаю, что это сильное утверждение, поэтому я могу ошибаться в своей интерпретации.

Даже если существует метод , который позволяет улучшить этот результат, я считаю , что это не представляется возможным , чтобы соответствовать результат для или . Моя интуиция проистекает из следующего факта: $NTIME$ $SPACE$

Есть очень известный результат, который утверждает, что . В предположении, что я полагаю, этот результат улучшен до для любого $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$ Таким образом, очень маленький недетерминированный класс намного сильнее любого детерминированного. Итак, учитывая, насколько мощно недетерминированное время ресурса, я ожидаю, что потребуется большее количество детерминированного времени, чтобы сделать ТМ более мощным, чтобы компенсировать силу недетерминизма.

— chazisop
источник

Для моделирования многоленточной машины Тьюринга на одноленточной машине требуется квадратичное время. Язык палиндромы показывают , что это необходимо: палиндромы могут быть признаны в

время на два ленточных машинах, но это требует время

на одной ленте машине

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Лука Trevisan

Лука, конечно, прав (я ожидал ошибки из-за силы заявления). Моя ошибка: я поспешно перепутал стандартную одноленточную ТМ с единственной рабочей лентой (с другой записывающей лентой без записи и, возможно, с отдельной записывающей лентой). Когда я осознал ошибку, я попытался выяснить, относится ли к этой модели регулярность

, но

показывают, что это не так. Я редактирую ответ, чтобы отразить этот факт, я надеюсь, что спрашивающий @Monoid принял его за интуитивную часть.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— Chazisop

Пример, который упоминает Лука, относится к случаю, когда время равно

. Этот частный случай вызывает беспокойство в целом из-за неустойчивого поведения одноленточных машин в таких небольших классах. Так что это не является препятствием, если время

. Интересно, что в доказательстве строгой версии теоремы об иерархии для

используется не симуляция, а прямой аргумент (см. Hartmanis 1968).

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Каве

Для n-магнитных лент результат строгой временной иерархии, аналогичный теореме пространственной иерархии, доказан Фюрером в 1982 году. Фактор не нужен. $\lg$

фактор теоремы времени иерархии , указанная в вашем посте только для одной ленты ДЧА. Если по какой-то причине вы не очень привержены модели с одной лентой, между теоремами иерархии нет разницы между пространством и временем. $\lg$

Существуют некоторые причины и аргументы в пользу использования одноленточных TM для определения классов сложности времени, но использование одноленточных TM для определения классов сложности не является универсальным, например, см. Lance Fortnow и Rahul Santhanam [2007], где они используют несколько лент TMs.

Первоначальная ссылка на теорему иерархии времени - Хенни и Стернс [1966]. Они доказывают теорему для двухленточных машин. Классическая теория рекурсии Одифредди цитирует их и Хартманиса [1968] и описывает доказательство, похожее на доказательство в книге Сипсера.

Однако доказательство для однотонных ТМ в статье Хартманиса не просто использует симуляцию. Он различает два случая: 1. время работы и 2. время работы . $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

В первом случае он использует симуляцию, и кажется, что можно избавиться от фактора если симуляции можно сделать более эффективно. $\lg$
Во втором случае статья прямо дает язык для разделения и вообще не использует симуляцию. При этом используются особые свойства одноленточных ТМ с субквадратичным временем выполнения.

Следует отметить, что одноленточные ТМ со временем не столь надежны, и существуют квадратные нижние границы (например, для Палиндромов) на одноленточных ТМ, тогда как ТМ с двумя лентами может решать такие проблемы в линейном времени. $o(n^2)$

Как я уже говорил выше, если вы по какой-то причине не привержены модели одноленточной ТМ, даже если время является субквадратичным, заполнить пробел невозможно, теорема иерархии времени является как можно более строгой.

PS: если мы используем несколько ленточных ТМ, то есть машина Тьюринга в классе может иметь фиксированное значение, но произвольное количество лент результат Фюрера не применим.

Мартин Фюрер, " Трудная детерминистическая иерархия времени ", 1982
Пьерджорджо Одифредди, "Классическая теория рекурсии", вып. II, 1999 (стр. 84)
Юрис Хартманис, " Вычислительная сложность вычислений на одной ленточной машине Тьюринга ", 1968
ФК Хенни и Р. Э. Стеарнс, " Моделирование многоленточных машин Тьюринга для двух лент ", 1966
Статья Лэнса Фортнау и Рахул Сантанам " Иерархии времени: обзор ", 2007

— Кава
источник

Не относится ли результат Фюрера только к случаю, когда число лент рассматриваемых машин Тьюринга фиксировано, т.

Говорит о классах

, где

- количество лент.

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— Маркус Блезер

@ Маркус, да, это правильно, это похоже на случай с одной лентой. Единственное отличие состоит в том, что количество лент больше одного, но оно по-прежнему фиксировано, например, 2 ленты.

— Каве

См. Также Krzysztof Loryś, « Результаты новой иерархии времени для детерминированных ТМ », 1992. Другая ссылка - это Kazuo Iwama, Chuzo Iwamoto, « Улучшенная иерархия времени и пространства для автономных ТМ с одной лентой », 1998 г., которая улучшает коэффициент логарифмического преобразования до журнал регистрации для однотонных ТМ.

— Каве

$\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

$\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

$\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

На самом деле у нас уже есть следующее.

$ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

$O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ Алгоритм потерпит неудачу для некоторого ввода, но мы не доказали, что он потерпел неудачу для некоторого ввода для всех, кроме конечного числа входных размеров (хотя было бы очень удивительно, если бы это не так)

— Дмитрий Тарановский
источник

Отличный ответ !! :)

— Майкл Вехар