Параметризованная сложность числа пересечений графа

17

Что если что-либо известно о параметризованной сложности вычисления числа пересечений графа (наименьшее число кликов, необходимых для охвата всех его ребер)?

Давно известно, что он является NP-полным, и это, очевидно, FPT, потому что у него есть ядро: если вы можете покрыть граф кликами, то существует не более различных замкнутых окрестностей вершин (две вершины имеют одинаковые окрестности, если они принадлежат к одному и тому же набору кликов), и вы могли бы также сохранить только одну вершину на окрестность. Это наблюдение в литературе где-то? Какая зависимость от известна? $k$ $2^k$ $k$

— Дэвид Эппштейн
источник

17

Эта проблема была изучена под названием Edge Clique Cover, и ваши наблюдения относительно сокращения данных были использованы для получения ядра с 2 ^ k вершинами. Это давняя открытая проблема, существует ли ядро полинома. Я не знаю о хороших оценках времени выполнения, см. Http://theinf1.informatik.uni-jena.de/publications/clique-cover-jea07.pdf

— Барт Янсен
источник

4

Очевидно, что полиномиальное ядро невозможно, согласно некоторым недавним событиям: arxiv.org/abs/1111.0570

— Нилдхара,

12

Отвечая на мой собственный вопрос, теперь на arXiv есть препринт, показывающий, что двойная экспонента является правильной зависимостью, если принять гипотезу экспоненциального времени . См. « Известные алгоритмы для EDGE CLIQUE COVER, вероятно, оптимальны », Марек Сиган, Марцин Пилипчук и Михал Пилипчук, arXiv: 1203.1754 и SODA 2013

— Дэвид Эппштейн
источник