Закрытие по сумме Минковского.

Сумма Минковского двух множеств векторов имеет вид $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

Я только что услышал интересную проблему (приписываемое Dan Гальперина): Учитывая форма , существует ли форма такое , что ? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

Но это не мой вопрос (кажется, это открытая проблема). Заметим , что в указанной выше проблемы, если есть множество выпукло, то существует решение , поскольку выпуклые множества замкнуты относительно взятия сумм Минковского. $B$ $A = (1/2)B$

Фиксируем класс формы . Мы говорим , что будет закрыто под суммами Минковского , если для любого . ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

Итак, мой вопрос:

Есть ли хорошая характеристика классов форм , замкнутых по суммам Минковского? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Суреш Венкат
источник

Юкка: я обновил вопрос.

— Суреш Венкат

Я читаю редакцию 2. (1) Я не вижу, как «выпуклые множества замкнуты при взятии сумм Минковского», является причиной «существует решение A = (1/2) B» (хотя оба факта очевидны). (2) Я сомневаюсь, что есть эквивалентная характеристика, более приятная, чем «замкнутая по суммам Минковского».

— Tsuyoshi Ito

Это правда, что нет прямого следствия. Но доказательство использует тот факт, что сумма двух выпуклых множеств является выпуклой. Я мог бы перефразировать слова «также обратите внимание, что…» вместо «с тех пор, как…»

— Суреш Венкат

Я не думаю, что мы используем тот факт, что сумма Минковского двух выпуклых множеств является выпуклой при доказательстве (B / 2) ⊕ (B / 2) = B для выпуклого множества B. Содержимое (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇B не имеет ничего общего с выпуклостью. Содержимое (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆B следует из того факта, что B выпуклый: для любого x, y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈B из-за выпуклости B.

— Tsuyoshi Ito

@Yoshio: это возможно. Этот вопрос также может быть связан с работой "sumset" в общих группах.

— Суреш Венкат

Решетки и линейные подпространства замкнуты по сумме Минковского. Это более или менее непосредственно из их определения. Решетки + линейные подпространства замкнуты по сумме Минковского (т. Е. Членом этого набора является, например, набор параллельных линий на расстоянии 1 друг от друга). Связные многоугольники с дырками замкнуты по сумме Минковского. Кольца [разности множеств двух концентрических дисков] замкнуты по сумме Минковского (естественно, диск считается кольцом). Множество отрезков, параллельных определенному направлению, замыкаются суммой Минковского. Картофельное пюре закрывают по сумме Минковского, но только если они хорошо приготовлены (а может и нет, уже слишком поздно) ...

Также семейство конечных объединений концентрических колец замкнуто относительно суммы Минковского.

— Сариэль Хар-Пелед
источник