LP релаксация независимого множества

13

Я пробовал следующее расслабление LP максимального независимого набора

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

Я получаю $1/2$ для каждой переменной для каждого кубического недвудольного графа Я попытался.

Верно ли для всех связных кубических недвойственных графов?
Есть ли релаксация LP, которая работает лучше для таких графиков?

Обновление 03/05 :

Вот результат клик-релаксации ЛП, предложенной Натаном.

Я суммировал эксперименты здесь. Интересно, что, кажется, существует довольно много не двудольных графов, для которых простейшая релаксация ЛП является интегральной.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Ярослав Булатов
источник

Решение

, конечно , не уникальна. В кубическом двудольном графе вы можете иметь оптимальное решение с

в одной части и

в другой части.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Юкка Суомела

1

Извините, я пропустил важную часть, я рассматриваю только не двудольные кубические графы. Каждый двудольный кубический граф, который я пробовал, имел интегральное решение

— Ярослав Булатов

Вам также нужно добавить «подключен», если вы хотите избежать неуникальных решений.

— Юкка Суомела

2

(1) Вы забыли написать ограничения неотрицательности. (2) Для двудольных графов оптимальное значение этой релаксации ЛП всегда равно максимальному размеру независимого множества. Это является непосредственным следствием теоремы Кенига .

— Цуёси Ито

2

@ Ярослав: Дополнительный вопрос: как вы рисуете эти графики?

— Тим

16

Недвудольный подключен кубического граф имеет единственное оптимальное решение ; в двудольном кубическом графе у вас есть интегральное оптимальное решение. $x_i = 1/2$

Доказательство: В кубическом графе, если сумма по всем ограничения , то есть $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ , иследовательнооптимальное самое большее . $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

Решение для всех тривиально осуществимо, иследовательнотакжеоптимальным. $x_i = 1/2$ $i$

В двудольном кубическом графе каждая часть имеет половину узлов, и, следовательно, решение в одной части также является оптимальным. $x_i = 1$

Любое оптимальное решение должно быть плотным, то есть мы должны иметь и, следовательно, для каждого ребра . Таким образом , если вы имеете нечетный цикл, вы должны выбрать для каждого узла в цикле. И тогда, если граф связан, этот выбор распространяется повсеместно. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Юкка Суомела
источник

2

Как я написал в комментарии к вопросу, вам нужно только двудольное, чтобы доказать существование интегрального оптимального решения (но это требует другого доказательства от вашего).

— Цуёси Ито

@ Цуйоши: Да, теорема Кенига хороша, чтобы иметь в виду. Например, вместе с вышеприведенным наблюдением будет показано, что любой двудольный кубический граф имеет 1-факторизацию (т. Е. Он может быть разбит на три идеальных соответствия). Конечно, это «неправильный» способ доказать этот результат, но я думаю, что он наглядно демонстрирует силу теоремы Кенига - если вы просто помните теорему Кенига, существует множество классических результатов в теории графов, которые вы можете легко изобрести заново. ,

— Юкка Суомела

12

Этот LP является половинным интегралом для всех графов, т. Е. Существует оптимальное решение, такое, что каждая переменная находится в {0,1 / 2,1}. Это просто следует из теоремы Немхаузера и Троттера. Конечно, такой же вывод о полуцелости следует для LP задачи о дополнении (покрытие вершин). Когда граф двудольный, решение является интегральным. Это просто следует из теоремы о минимальном сечении максимального потока или работы с экстремальными точечными решениями этого LP. Кроме того, ребра 1/2 образуют нечетный цикл.

Конечно, этот LP не годится для решения проблемы IS. Добавление ограничений Clique или SDPs - намного лучший подход.

Упаковки вершин: структурные свойства и алгоритмы Г. Л. Немхаузер и Троттер-Матем. Программа., 1975

— Мохит Сингх
источник

Справа см. Также теорему 5.6 этой статьи для очень простого алгоритма, который эффективно находит полуцелое решение.

— Юкка Суомела

LP с ограничениями Clique решил примерно на 50% больше графиков из приведенного выше .... где я могу найти формулировку SDP?

— Ярослав Булатов

7

Кандидатская диссертация Сергея Бутенко 2003 года рассматривает некоторые другие LP релаксации MIS, а также некоторые квадратичные релаксации.

— Суреш Венкат
источник

6

$K_4$

Это называется дробным независимым числом набора. Там вы найдете некоторую информацию: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring или в книге «Теория дробных графов» Даниэля Уллмана и Эдварда Шейнермана ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / фгт / ).

$K_k$

Nathann

(*) это, как говорится, теоретически вы имеете сколь угодно большую разницу между оптимальным результатом в LP, где представлены все клики, и оптимальным независимым множеством

— Натанн Коэн
источник

1

Одна из проблем этого подхода заключается в том, что если у вас есть недвойственный кубический граф без треугольников (а их много ...), формулировка точно совпадает с формулировкой в вопросе, и мы имеем точно такой же плохие новости. В целом, я думаю, мы всегда можем построить графы, в которых все узлы находятся в

k

$k$ Клика и нет

(k + 1)

$(k+1)$ -клик, и покажи, что

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$ для всех

i

$i$ является уникальным оптимальным решением ЛП.

— Юкка Суомела

интересно, это, кажется, связано с легкостью IndependentSet в хордовых графах

— Ярослав Булатов

Я провел несколько экспериментов, и решение этой релаксации ЛП всегда было интегральным в хордовых графах

— Ярослав Булатов

1

@YaroslavBulatov Есть причина для вашего наблюдения. Неравенства клики и границы неотрицательности обеспечивают выпуклую оболочку независимых множеств тогда и только тогда, когда граф идеален. Аккордовые графики идеальны.

— Остин Бьюкенен