В чем сложность вычисления оптимальных кодов без префиксов при одинаковых частотах?

Хорошо известно, что в худшем случае существует оптимальный алгоритм для вычисления кода Хаффмана за время $\theta(n\lg n)$ . Это улучшается двумя ортогональными способами:

1. Оптимальные коды без префиксов могут быть вычислены быстрее, если набор различных частот мал (например, имеет размер $\sigma$ ): отсортируйте частоты, используя [Munro and Spira, 1976], чтобы воспользоваться небольшим значением $\sigma$ , и вычислите Хаффмана дерево за линейное время от отсортированных частот. Это дает решение в $O(n\lg\sigma)$

2. Существует алгоритм $O(n 16^k)$ для вычисления эквивалентных кодов, где $k$ - это количество различных длин кодовых слов [Belal and Elmasry].

$O(n\min\{16^k,\lg\sigma\})$

РЕЗУЛЬТАТ ОТ STACS 2006 SEEM быть неправым$O(nk)$ , Elmasry опубликовано Arxiv в 2010 году (http://arxiv.org/abs/cs/0509015) версия объявляя - операции на несортированном входе и - операций с отсортированным вводомO ( 9 k log 2 k - 1 n $O(16^kn)$$O(9^k \log^{2k-1} n)$

1. Я вижу аналогию со сложностью вычисления плоской выпуклой оболочки, где алгоритмы в (на основе сортировки, как алгоритм для кода Хаффмана) и в (подарок обертывание) были заменены алгоритмом Киркпатрика и Зейделя в (позже оказалось, что он является оптимальным для экземпляра со сложностью формы ). В случае свободных кодов префиксов: и предполагают возможность алгоритма со сложностью или даже где - количество кодовых слов длиныO ( n lg n ) O ( n h ) O ( n lg h ) O ( n H ( n 1 , … , n k ) O ( n lg n ) O ( n k ) O ( n lg k ) O ( n H ( n 1$O(n\lg n)$$O(n\lg n)$$O(nh)$$O(n\lg h)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$O(n\lg n)$$O(nk)$$O(n\lg k)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$n_i$$i$использование аналогии ребра выпуклой оболочки, покрывающей указывает на длину кода, охватывающую символы .$n_i$$n_i$

2. Простой пример показывает, что сортировка (округленных) логарифмических значений частот (по линейному времени в модели оперативной памяти word) не дает оптимального кода без префикса в линейном времени: $\theta(\lg n)$

   • Для , и$n=3$$f_1=1/2-\varepsilon$$f_2=f_3=1/4+\varepsilon$
   • $\lceil\lg f_i\rceil=2$ поэтому сортировка журналов не меняет порядок
   • все же два кода из трех стоят бита больше, чем оптимальные.$n/4$

3. Другим интересным вопросом было бы уменьшить сложность, когда велико, то есть все коды имеют различную длину:$k$

   • например, когда все частоты имеют различное логарифмическое значение. В этом случае можно отсортировать частоты по линейному времени в оперативной памяти и вычислить код Хаффмана за линейное время (поскольку для сортировки значений достаточно отсортировать их лог-значения), что приведет к общему линейному времени , намного лучше, чем из алгоритма Белала и Элмасри.$k=n$$\theta(\lg n)$$n^2$

Прошло несколько лет (пять!), Но вот частичный ответ на вопрос:

http://arxiv.org/abs/1602.00023

Оптимальные коды без префиксов с частичной сортировкой Жереми Барбай (представлен 29 января 2016 г.)

Мы опишем алгоритм, вычисляющий оптимальный код без префикса для n несортированных положительных весов во времени в пределах O (n (1 + lgα)) ⊆O (nlgn), где чередование α∈ [1..n − 1] измеряет величину сортировка требуется вычислением. Эта асимптотическая сложность находится в пределах постоянного коэффициента оптимальности в вычислительной модели алгебраического дерева решений, в худшем случае для всех случаев размера n и чередования α. Такие результаты улучшают современную сложность of (nlgn) в наихудшем случае по сравнению с экземплярами размера n в той же вычислительной модели, являющейся вехой в сжатии и кодировании с 1952 года, с помощью простой комбинации алгоритма Ван Леувена для вычисления оптимального префикса свободные коды из отсортированных весов (известных с 1976 года), с отложенными структурами данных для частичной сортировки мультимножества в зависимости от запросов к нему (известных с 1988 года).