Эффективно вычислимая функция как контрпример к гипотезе Сарнака Мёбиуса

Недавно Гил Калай и Дик Липтон написали хорошую статью на интересную гипотезу, предложенную Питером Сарнаком, экспертом по теории чисел и гипотезе Римана.

Гипотеза. Пусть - функция Мёбиуса . Предположим, что является функцией с входом в виде двоичного представления , тогда $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\underset{К \leq N}{Σ} μ (К) \cdot е (К) знак равно о (N),$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Отметим, что если то мы имеем эквивалентную форму теоремы о простых числах . $f(k) = 1$

ОБНОВЛЕНИЕ : Бен Грин на MathOverflow предоставляет небольшую статью, в которой утверждается, чтобы доказать гипотезу. Посмотрите на бумагу .

С другой стороны, мы знаем, что, установив (с небольшой модификацией, чтобы диапазон находился в ), полученная сумма имеет оценку Существует верхняя граница, что может быть вычислена в , поэтому предложенное ограничение на в предположении не может быть смягчена до функции . Мой вопрос: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\underset{К \leq N}{Σ} μ (К)^{2} знак равно Ω (N),

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

Какой класс наименьшей сложности мы знаем в настоящее время, так что функция в удовлетворяет оценке в частности, так как некоторые из теоретиков полагают , что вычислительные не находится в , мы можем обеспечить другие функции что подразумевает линейный рост суммирования? Можно ли получить еще лучшие оценки? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\underset{К \leq N}{Σ} μ (К) \cdot е (К) знак равно Ω (N) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

Некоторый квантовый класс, такой как P ^ {BQNC}, также должен работать, так как факторинг лежит в этом классе.

— Робин Котари

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@ Эмануэле, хороший вопрос. Индикаторная функция i-го бита в двоичном представлении k является линейным «скобочным полиномом», но имеет очень высокие коэффициенты, поэтому она не может следовать из теоремы Грин-Тао о корреляции функции Мёбиуса с ограниченной нильпоследовательности Нильпоследовательности с ограниченным шагом имеют в качестве особых случаев полиномы с ограниченными степенями скобок, но их результат может иметь некоторые ограничения на величины коэффициентов

— Лука Тревизан

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$