Оценка VC-измерения

Что известно о следующей проблеме?

Для набора функций найдите наибольшую подгруппу учетом ограничения VC-Dimension для некоторого целого числа . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Существуют ли алгоритмы аппроксимации или результаты твердости для этой задачи?

— Аарон Рот
источник

Кажется, что функции не играют роли в максимизации | S |

— Суреш Венкат

Выбор функций определяет VC-размерность S. Задача состоит в том, чтобы найти как можно больший класс функций с учетом ограничения VC-размерности.

— Аарон Рот

Понимаю. Таким образом, в переводе «геометрия земли», вы получаете набор диапазонов (f действует как характеристическая функция), и вы хотите самую большую коллекцию ограниченного измерения VC.

— Суреш Венкат

Другая проблема в ответе на вопрос: как представлен C? Мы знаем, что максимально возможный размер равен по лемме Сауэра, и для записи хотя бы одной функции в требуется битов.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Суреш Венкат

Правильно. Я заинтересован в результатах в любом представительском режиме. Вы можете представить, что представлен какматрица, в этом случае время выполнениябыло бы `` эффективным '' (хотя не время , что требуется для исчерпывающей проверки, были ли разбиты все коллекции из точек). Если какие-либо алгоритмические результаты возможны только с помощью черного доступа к функциям в , это было бы еще лучше.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Аарон Рот

Ответы:

Редактирование : исходная задача -Жесткого аппроксимировать , когда , где обозначает число наборов. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

Двойной гиперграф получаются путем обмена вершин с ребрами, и сохранением числа случаев. Проще понять проблему, когда мы заметим, что гиперграф имеет VC-размерность 1, если его двойник является кросс-свободным (для всех в хотя бы один из пусто). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

В силу двойственности исходная задача (для ) эквивалентна тому, что с учетом гиперграфа найти максимальный размер с кросс-свободным. $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

$\mathcal{S}$

Оригинальный ответ

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Но для первоначальной (первичной) проблемы, кажется, нужно еще немного подумать ... выглядит интересно!

— daveagp
источник

Некоторая соответствующая связанная с этим работа: Оценка самого измерения VC (не говоря уже о нахождении большого подколлекции с ограниченным измерением VC) в вашем представлении является завершением LOGNP (LOGNP - это NP, ограниченная записью n битов недетерминизма). Есть также немного связанной работы по оценке и аппроксимации VC-измерения, когда представление пространства диапазонов является более компактным (см. Также ссылки внутри)

— Суреш Венкат
источник