Построение графиков ограниченного пересечения числа

Теорема Фари говорит, что простой планарный граф можно нарисовать без пересечений, так что каждое ребро является отрезком прямой.

Мой вопрос заключается в том, существует ли аналогичная теорема для графов ограниченного числа пересечений . В частности, можем ли мы сказать, что простой график с числом пересечений k можно нарисовать так, чтобы на чертеже было k пересечений и чтобы каждое ребро представляло собой кривую степени не более f (k) для некоторой функции f?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Как отмечает Дэвид Эппштейн, легко видеть, что теорема Фари подразумевает рисование графа с числом пересечения k, так что каждое ребро является многоугольной цепью с не более чем k изгибов. Мне все еще интересно, можно ли нарисовать каждое ребро с помощью кривых с ограниченным градусом. Сянь-Чи Чанг указывает, что f (k) = 1, если k равно 0, 1, 2, 3, и f (k)> 1 в противном случае.

Если граф имеет ограниченное число пересечений, его можно нарисовать с таким количеством пересечений в модели ломаной линии (т. Е. Каждое ребро является многоугольной цепью, гораздо более распространенной в литературе по рисованию графа, чем алгебраические кривые ограниченной степени) с ограниченным числом изгибов. по краю Это также справедливо в более общем смысле, если число ребер ограничено. Чтобы увидеть это, просто выровняйте график (замените каждое пересечение вершиной), а затем примените Фари.

Теперь, чтобы использовать это, чтобы ответить на ваш реальный вопрос, вам нужно найти алгебраическую кривую, произвольно близкую к заданной полилинии, со степенью, ограниченной функцией числа изгибов полилинии. Это также можно сделать довольно легко. Например: для каждого сегмента$s_i$ полилинии, пусть $e_i$ быть эллипсом с высоким эксцентриситетом, который очень близок к $s_i$, и разреши $p_i$ быть квадратичным полиномом, который положителен снаружи $e_i$ и отрицательный внутри $e_i$, Пусть ваш общий полином принимает форму$p=\epsilon-\prod_i p_i$ где $\epsilon$это небольшое положительное вещественное число. Тогда один компонент кривой$p=0$будет немного лежать вне объединения эллипсов и может использоваться для замены ломаной линии; его степень будет в два раза больше числа эллипсов, которое является линейным по количеству пересечений на ребро.

Это известно как прямолинейное число пересечения $\overline{\mathsf{cr}}(G)$, что является минимальным количеством пересечений среди всех возможных прямолинейных рисунков графика $G$, Сравните с нормальным числом пересечения$\mathsf{cr}(G)$можно увидеть, что $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$, И ваш вопрос по сути такой же, как вопрос$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ если $\mathsf{cr}(G) \leq k$ для некоторой константы $k$,

В статье « Границы прямолинейных чисел пересечения» Бинсток и Дин доказали, что

Теорема. Если$k \leq 3$, у нас есть $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$, И для$k \geq 4$есть графики $G_n$ с $\mathsf{cr}(G) = 4$ а также $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$,

См . Опрос о пересечении чисел Рихтера и Салазара для справки. Таким образом, если существует вариант теоремы Фари о графах с ограниченными числами пересечения, он должен быть ограничен$\mathsf{cr}(G) \leq 3$,

Для небольшого примера с $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$рассмотрим полный граф на 8 вершинах. В нем есть$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ а также $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$,