Вычисление суммы разреженных полиномов в квадрате за O (n log n) времени?

Предположим , что мы имеем полиномы степени не более n , n > m , так что общее число ненулевых коэффициентов равно n (т. е. многочлены редки). Меня интересует эффективный алгоритм вычисления полинома:$p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

Поскольку этот многочлен имеет степень не более , размер входных и выходных данных равен O ( n ) . В случае m = 1 мы можем вычислить результат, используя БПФ за время O ( n log n ) . Можно ли это сделать для любого m < n ? Если это имеет какое-то значение, меня интересует особый случай, когда коэффициенты равны 0 и 1, и вычисление должно выполняться по целым числам.$2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Обновить. Я понял, что быстрое решение для вышеупомянутого будет означать достижения в быстром умножении матриц. В частности, если , то можно считывать с я к б K J как коэффициент х я + n j в p k ( x $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$ . Таким образом, вычисление р К ( х ) 2 соответствует вычислению внешнего произведения двух векторов, и вычислению суммы Е к р К ( х ) 2 соответствует вычислению матрицы продукта. Если есть решениеиспользованием времени п ( п , м ) для вычисления Е к р К ( х ) 2 то мы можем умножить два п матрицаразмерностью N матриц в время F ( п 2 , $p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$$f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$ , что означает, что f ( n , m ) = O ( n log n ) для m ≤ n потребует серьезного прорыва. Но возможно, что f ( n , m ) = n ω / 2 , где ω - текущий показатель умножения матриц. Идеи, кто-нибудь?$f(n^2,n)$$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

Возведение в квадрат многочлена с ненулевыми коэффициентами требует времени O ( x 2 i ), используя обычное умножение на член, поэтому это должно быть предпочтительнее, чем FFT для тех многочленов, где x i < $x_i$$O(x_i^2)$ . Если∑ixi=n, то число полиномов сxiбольше$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ являетсяO($\sqrt{n \log n}$, и это потребуется времяO(N 3 / 2 (логп) 1 / 2 )к площади и объединить (как будет остальные полиномы). Это улучшение по сравнению с очевиднойграницейO(mnlogn),когдаmравноΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Не полный ответ, но может быть полезным.

Предостережение: это работает только в том случае, если поддержка мала.$p_i^2$

Для многочлена пусть S q = { i ∣ a i ≠ 0 } будет его опорой, а s q = | S q | быть размером поддержки. Большая часть р я будет разреженным, то есть, будет иметь небольшую поддержку.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Существуют алгоритмы умножения разреженных многочленов и b за квазилинейное время на величину поддержки продукта a b , см., Например, http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

Носителем является (содержится в) S a + S b , где сумма двух множеств S и T определяется как S + T : = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } . Если опоры всех продуктов малы, скажем, линейны по n , то можно просто вычислить продукты и сложить все одночлены.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

Однако очень легко найти многочлены и b такие, что размер носителя a b является квадратичным по размерам носителя a и b . В этом конкретном приложении мы возводим в квадрат многочлены. Таким образом, вопрос в том , насколько больше S + S по сравнению с S . Обычной мерой для этого является удвоение числа | S + S | / | S | , Существуют множества с неограниченным удваивающим числом. Но если вы можете исключить множества с большим удваивающим числом в качестве поддержки p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$, тогда вы можете получить быстрый алгоритм для вашей проблемы.

Просто хотел отметить алгоритм естественного приближения. Это не использует разреженность хотя.

Вы можете использовать случайную последовательность $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ Взяв $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ мы можем вычислить $X^2$ за $n\log n$ раз, используя FFT. Тогда $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ и $\sqrt{VX^2} = O(S)$. Таким образом, вы можете получитьприближение$1+\varepsilon$во времени$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.