Существуют ли CFG полиномиального размера, которые описывают этот конечный язык?

Есть ли перестановки $\pi_1,\pi_2$ и полиномиальный размер (в $|w|=n$) контекстно-бесплатная грамматика, описывающая конечный язык $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ по алфавиту $\{0,1\}$?

ОБНОВЛЕНИЕ: для одной перестановки $\pi$ это возможно. $\pi$ является разворотом или относительно незначительной модификацией разворота.

Хомская нормальная форма

CFG находится в CNF (нормальная форма Хомского), если единственные производства имеют форму $A \rightarrow a$ а также $A \rightarrow BC$; грамматика может быть перенесена в CNF только с квадратичной раздувкой.

Для грамматики $G$ в CNF у нас есть хорошая лемма подслов: если$G$ генерирует слово $w$то для каждого $\ell \leq w$есть подслово $x$ из $w$ длины $\ell/2 \leq |x| < \ell$ который генерируется некоторым нетерминалом $G$, Доказательство: опуститесь (двоичное) синтаксическое дерево, всегда обращаясь к потомку, который генерирует более длинное подслово. Если вы начали с подсловом размера по крайней мере$\ell$, ты не мог пойти ниже $\ell/2$,

Решение

Без ограничения общности можно предположить, что грамматика для $L_n$ (такой язык с конкретными $\pi_1,\pi_2 \in S_n$) в нормальном состоянии. Язык$L_n$ состоит из слов $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ для всех $x \in \{0,1\}^n$,

Используя лемму подслова, для каждого $w(x)$ мы можем найти подстроку $s(x)$ длины

Предположим, что $p(x) = p(y)$ а также $A(x) = A(y)$, поскольку$|s(x)|<n$Подслово $s(x)$ не может пересекать оба $x$ часть и $\pi_2(x)$ часть $w(x)$; мы можем предположить, что это не пересекается с$x$часть. таким образом$w(x)$ имеет форму $x \alpha s(x) \beta$, Это подразумевает, что$A(x)$ генерирует ровно одну строку, а именно $s(x)$, Следовательно$s(x) = s(y)$,

Сейчас же $s(y)$ пересекается либо $\pi_1(y)$ или $\pi_2(y)$ по крайней мере $n/4$ места, и, таким образом, определяет, по крайней мере, $n/4$ биты $y$, Поэтому самое большее$2^{3n/4}$ строки $y \in \{0,1\}^n$ может иметь $p(x) = p(y)$ а также $A(x) = A(y)$, Так как есть максимум$3n$ возможности для $p(y)$мы получаем что есть хотя бы

Комментарий: то же самое доказательство работает, если $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$т.е. произвольные перестановки на множестве всех $n$слова. Данный$n/4$ биты $\pi_i(y)$Точно $2^{3n/4}$ прообразы $y$,

Больше примеров

Используя тот же метод, можно доказать, что язык, где каждый символ появляется ровно дважды, требует CFG экспоненциального размера в размере алфавита. Мы можем заменить «дважды» на любое подмножество$\mathbb{N}$ кроме четырех тривиальных (игнорируя $0$либо не содержит ни одного из $\mathbb{N}_{\geq 1}$ или все это).

Я был бы признателен за ссылку на этот метод доказательства.