Последствия полных задач для NP пересекает coNP

Каковы последствия наличия полных проблем в ?$NP\cap coNP$

Это (широко) открытая проблема; как в, мы почти ничего не знаем. В частности, из-за хитрости в доказательстве неполадок нам нужны совершенно другие методы доказательства, чем в настоящее время. Таким образом, обсуждение последствий должно разумно включать касательную тему: «Что бы значило иметь такие мощные, новые методы доказательства?»$NP \cap coNP$

Для сравнительно недавнего обсуждения этой темы есть 26-й столбец NP-Полнота Дэвида Джонсона в ACM Transactions on Algorithms от 2007 ( PDF ). Позвольте мне перефразировать кое-что из того, что говорит Дэвид относительно вопроса о доказательстве существования проблем, и добавить мои мысли:$NP \cap coNP$

В настоящее время у нас есть только «слабые» естественные кандидаты на членство в в том смысле, что самым убедительным доказательством их членства является то, что нам пока не удалось найти для них алгоритм полиномиального времени. Он перечисляет пару кандидатов: МАЛЕНЬКИЙ ФАКТОР, ПРОСТАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ИГРА и ИГРА СРЕДНЕГО ВЫПЛАТА. Некоторые из дополнительных «странностей» этих проблем проистекают из лучших эвристических времен выполнения для их решения, например, МАЛЫЙ ФАКТОР, также известный как INTEGER FACTOR , имеет случайную временную сложность . (Если в существуют полные проблемы , то такая субэкспоненциальная (ни чисто экспоненциальная, ни полиномиальная)$NP \cap coNP - P$≤ k p o l y ( n ) 2 √$\le k$$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$$NP \cap coNP - P$время выполнения эндемик класса? )

В частности, мы бы хотели доказать что-то вроде: проблема A существует только в тогда и только тогда, когда , то есть результат полноты, подобный теореме Кука для 3SAT и . Для такие доказательства повсеместно включают сокращения за полиномиальное время (и исправьте ваши любимые дополнительные ограничения, например, сокращения Кука, сокращения Карпа). В результате, при использовании методов сокращения за полиномиальное время должен существовать случай, когда существует распознаваемое представление класса за полиномиальное время. Для мы можем использовать недетерминированные машины Тьюринга, которые останавливаются в полиноме,$P$$NP \cap coNP = P$$NP$$NP$$NP$$p(|x|)$P S P A C E Pколичество шагов Как Давид указывает, у нас есть подобные представления для других классов (где статус понятнее) , таких как и # .$PSPACE$$P$

Сложность, однако, с предоставлением аналогичного представления для $NP \cap coNP$ состоит в том, что «естественный» аналог позволяет нам встроить проблему остановки в представление и поэтому неразрешим . То есть рассмотрим следующую попытку представить $NP \cap coNP$ с помощью двух недетерминированных машин Тьюринга, которые, как утверждается, распознают дополнительные языки:

Вопрос: останавливается ли машина Тьюринга $M^*$ на входе $x \in {0,1}^n$ ?

Построить две линейные машины Тьюринга $M_1$ и $M_2$ следующим образом. На входе $y$ , $M_1$ считывает вход и всегда принимает. $M_2$ всегда отвергает, если $|y| \ge |x|$и $M^*$ принимает $x$ на шагах $\le |y|$,

Следовательно, $M_1$ и $M_2$ принимают дополнительные языки, если только $M^*$ не останавливается на входе $x$ . Следовательно, противоречие, решение о том, принимают ли две машины Тьюринга за полиномиальное время дополняющие языки, неразрешимо.

Таким образом, «естественное» представление задач $NP \cap coNP$ не распознается за полиномиальное время. Остается вопрос: как вы представляете проблемы $NP \cap coNP$ , чтобы они распознавались за полиномиальное время?

Там не было никакой существенной работы по этому вопросу, но ее успешное решение необходимо доказать полноту в $NP \cap coNP$ . Следовательно, я утверждаю, что существование метода доказательства, который может разрешить полноту $NP \cap coNP$ будет большей историей здесь, а не «автоматическим» результатом $NP \cap coNP$ -полных задач ( например, классы сложности, возможно, разрушающиеся), о которых мы уже знаем (или, скорее, будем знать , гипотетически в будущем).