Есть ли связь между алмазной нормой и расстоянием связанных состояний?

В квантовой теории информации расстояние между двумя квантовыми каналами часто измеряется с использованием алмазной нормы. Существует также ряд способов измерения расстояния между двумя квантовыми состояниями, таких как расстояние следа, точность и т. Д. Изоморфизм Ямиолковского обеспечивает двойственность между квантовыми каналами и квантовыми состояниями.

Это интересно, по крайней мере для меня, поскольку общеизвестно, что алмазную норму трудно вычислить, и изоморфизм Ямиолковского, по-видимому, подразумевает некоторую корреляцию между мерами расстояния квантовых каналов и квантовыми состояниями. Итак, мой вопрос заключается в следующем: есть ли известная связь между расстоянием в алмазной норме и расстоянием между ассоциированными состояниями (в некоторой мере)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— Джо Фитцсимонс
источник

Я не уверен, что вы подразумеваете под «алмазной нормой, как известно, сложно вычислить». Если вам дан квантовый канал в качестве явной матрицы (например, его представления Чой-Ямиолковского), квадрат его алмазной нормы можно сформулировать как полуопределенная программа; см. раздел 20.4 конспекта лекции Джона Уотроуса . В этом смысле алмазная норма имеет эффективные средства для расчета.

— Цуёси Ито

@Tsuyoshi: я просто ссылался на неявную оптимизацию. Я имел в виду не вычислительную сложность, а довольно неудобную работу.

— Джо Фитцзимонс

Это очень хорошие лекционные заметки.

— Суреш Венкат

@Suresh @ Tsuyoshi: Да, это отличные заметки, но я не думаю, что они отвечают на этот конкретный вопрос.

— Джо Фицсимонс

@TsuyoshiIto: по какой-то причине последний раздел слайдов QIP - 20.3. У вас есть более полный набор лекций?

— Артем Оботуров

Ответы:

Для квантового канала запишем для обозначения ассоциированного состояния: $\Phi$ $J(\Phi)$ Здесь мы предполагаем, что канал отображает(то есть,комплексные матрицы) вдля любого выбора натуральных чиселивам нравится. Матрица

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ иногда называют матрицей Чи или Ча-Jamiolkowski представлением

, но более часто , что использует эти термины , когда

Φ

$\Phi$

нормализация опущена.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Обратите внимание, что приведенное выше определение не работает для произвольных отображений, только определения вида для полностью положительных отображений и . Для общих отображений супремум берется по всем матрицам с нормой следа 1, а не просто матрицы плотности.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Если у вас нет дополнительных предположений о каналах, вы не можете сказать слишком много о том, как эти нормы соотносятся с этими грубыми границами: Что касается второго неравенства, то по существу можно согласиться на конкретный выбор вместо того , супремум по всем

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ , Первое неравенство является более жестким предложением, но это будет разумный вопрос для аспирантуры по квантовой информации. (На данный момент я должен поблагодарить вас за ваш вопрос, потому что я полностью намереваюсь использовать этот вопрос в осеннем предложении моего курса по квантовой теории информации.)

Вы можете достичь любого неравенства для соответствующего выбора каналов и , даже при дополнительном допущении, что каналы отлично различимы (имеется в виду ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— Джон Уотроус
источник

Спасибо Джону, что отлично отвечает на мой вопрос и сэкономил мне много времени.

— Джо Фицсимонс

Возможно, вы также захотите изучить меры расстояния для сравнения реальных и идеальных квантовых процессов arXiv: quant-ph / 0408063, в котором дается обзор мер расстояния для квантовых каналов и их взаимосвязей.

Они используют термин « расстояние S» для расстояния алмаза и « J расстояние» для расстояния следа операторов Ямиолковского, связанных с каналами.

— Антонио Валерио Мицели-Бароне
источник

Мне нравится думать о первом неравенстве, которое Ватроус написал с точки зрения вероятностной телепортации канала. Если вы интерпретируете алмазную норму как меру наименьшей вероятности ошибки в различающих каналах и , а норму трассы как эквивалент их состояний Ямиолковского, вы всегда можете реализовать оптимальную стратегию для каналов из их соответствующих состояний с помощью вероятность успеха. Строго говоря, это может быть способом доказать неравенство. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Кроме того, этот способ мышления показывает, что если каналы можно детерминировать телепортированием (например, каналы Паули), то их алмазная норма равна расстоянию следа Ямиолковского.

— Алекс Монрас
источник