Есть ли проблемы без эффективных алгоритмов, где теоремы существования доказали, что такие алгоритмы должны существовать?

22

Существуют ли проблемы в CS, где эффективные алгоритмы не известны, несмотря на теоремы существования, доказывающие, что такие эффективные алгоритмы должны существовать?

Как называются эти проблемы? Где я могу узнать больше?

ds.algorithms reference-request terminology

— z5h
источник

4

Я думаю, что это уместно: en.wikipedia.org/wiki/Minor_(graph_theory)#Algorithms

— Филип Уайт

3

Какой у Вас вопрос? В заголовке написано «решения», а в содержании вы пишете «алгоритмы».

— Маркос Вильягра

6

Я думаю, что было бы лучше, если вы спросите об интересных / естественных проблемах, в противном случае легко определить такие проблемы: принять любое математическое утверждение, которое, как известно, не является истинным или ложным, сделать вывод задачи 1 (независимым от ввода), если оно true и 0, если это false. Есть два очень простых алгоритма, которые один из них решает эту проблему, но решение, которое в основном доказывает / опровергает математическое утверждение, поэтому мы не знаем, какой из них решает его.

— Каве

9

В качестве примера Шелби Киммел использует метод противника в этой статье, чтобы показать, что должен существовать алгоритм запроса $O(1)$ для определенной задачи, для которой мы не знаем постоянного решения запроса. Она делает это особенно хитроумным способом, находя сложность запроса для задачи, составленной сам по себе $d$ раз, а затем находя сложность запроса $Q$ для составной функции, и отмечая, что сложность запроса исходной функции имеет порядок $Q^\frac{1}{d}$ .

— Артем Казнатчеев
источник

12

Конечно, есть много примеров, по крайней мере, в духе вашего вопроса.

Часто такой результат получается из вероятностного метода . Например, одна статья, которая мне нравится, сталкивается с проблемой - реконструкция графов в аддитивной модели . Здесь авторы показывают, что существует набор запросов, которые (оптимально) изучат целевой граф. Учитывая этот набор, алгоритм эффективен. Тем не менее, они используют вероятностный метод, чтобы показать существование этого небольшого набора (для каждого размера задачи), который будет работать на всех входных данных, но явно не конструировать его. Поэтому лучшее, что они могут сделать, - это просто перебор по экспоненциальному семейству запросов, потому что они не имеют явной конструкции. $O(dn)$

— Лев Рейзин
источник

2

Нет, вы всегда можете использовать самый быстрый и самый короткий алгоритм для всех четко определенных задач . ;)

— Маркус Ритт
источник

Я не был полностью серьезен, но заметил, что конструкция Хаттера фактически доказывает правильность алгоритма. Как вы думаете, почему это не отвечает на вопрос?

— Маркус Ритт

4

@Ross Snider: конечно неразрешимые языки избегают результата Хаттера: в конце концов, он дает алгоритм! Однако, в отличие от поиска Левина, который требует, чтобы проблемные экземпляры имели проверяемые сертификаты (например, проблемы поиска NP), поиск Хаттера не имеет. Это просто требует, чтобы проблема была сформулирована на формальном языке, который может послужить основой для исчерпывающего поиска доказательств [что некоторые ТМ фактически решают указанную проблему]. Кроме того, Хаттер / Левин не дает нам доказательств существования эффективных алгоритмов для задачи, если мы уже не знаем, что проблема имеет такой алгоритм.

— Джошуа Грохов

1

@ Иисус Навин Я привел неразрешимые языки в качестве примера чего-то, что поиск Хаттера / Левина не мог определенно решить (я пытался выбрать что-то очевидное), но который остается «четко определенным»; это аргумент против претензии в заголовке статьи. Конечно, я был осторожен, чтобы признать, что я не читал содержание, что я должен сделать сейчас.

— Росс Снайдер

1

Является ли этот алгоритм вычислительным содержанием эквивалентности конструктивной и классической математики для формульных операторов?

— Нил Кришнасвами

1

@Neel Kirshnaswami: Сложно сказать, так как я не знал, что существует такая эквивалентность! Можете ли вы дать указатель?

— Джошуа Грохов

1

Изменить: Ответ ниже касается существования решения данной вычислительной задачи, а не о существовании алгоритмов. Первоначально я неправильно истолковал вопрос.

Ответ

Существует класс сложности, который охватывает такие вычислительные проблемы. Это известно как TFNP . Это было определено в этой статье:

Нимрод Мегиддо и Христос Пападимитриу. Об общих функциях, теоремах существования и вычислительной сложности . Теоретическая информатика 81 (2): 317-324.

Здесь вы найдете такие проблемы, как Трихроматический треугольник, для которого существование решения гарантировано леммой Спернера (определение этой проблемы см. В статье).

У вас также есть следующий документ:

Христос Пападимитриу. О сложности аргумента о четности и других неэффективных доказательствах существования . Журнал компьютерных и системных наук 48 (3), 1990.

В этой статье вы найдете:

В лемма -размерного Шпернера, которая является обобщением Trichromatic треугольника. $n$
Равновесие 2-х игроков.
Найти второй гамильтонов путь на графе.

В статье есть много примеров проблем такого типа. Поэтому я рекомендую взглянуть на это.

— Маркос Вильягра
источник

2

Речь идет не о проблемах с доказуемо существующими решениями для их версий решений, а о проблемах с доказанным существованием эффективных алгоритмов. Это разные вещи. Я согласен, что на первый взгляд название может ввести в заблуждение. Однако только на первый взгляд.

— Александр Бондаренко

да я тоже согласен Но я был полностью введен в заблуждение этим вопросом. Теперь в этом случае ответ вводит в заблуждение. Что я делаю? Удалить вопрос? Или отредактировать и поставить предупреждение о том, что именно отвечает?

— Маркос Вильягра

Нет политики удаления ответов, вы всегда можете делать то, что считаете нужным. Лично я думаю, что здесь можно оставить свой ответ. Вы можете поставить заявление, на какой вопрос вы точно отвечаете.

— Сянь-Чи Чанг 之之