Четырехгранная структура данных (Делоне / Вороной)

2 вопроса для вычислительных геометров или алгебраистов:

Я только начинаю погружаться в вычислительную геометрию, и мне это нравится =)

Я пытаюсь прочитать знаменитую статью Гибаса и Столфи под названием «Примитивы для манипулирования общими подразделениями и вычисления диаграмм Вороного» с целью реализации алгоритма триангуляции Делоне. Я испытываю желание пропустить все теоретические вещи и просто прочитать описание их четырехугольной структуры данных, чтобы сэкономить время. Тем не менее, я думаю, что стоит понять всю математику в статье, если структура широко используется, или просто потому, что она может быть красивой.

Для меня математика немного сложна. Я не совсем в курсе топологии, но описание их краевой алгебры требует знания абстрактной алгебры, которой у меня нет.

Мои два вопроса: Какие существуют другие применения структуры с четырьмя ребрами, кроме вычисления Делоне / Вороного? Это похоже на чрезвычайно мощный инструмент.

Второй вопрос; Что такое абстрактная алгебра? Было бы здорово, если бы вы дали мне ссылку на введение в абстрактную алгебру, достаточно, чтобы я мог понять раздел об их алгебре ребер.

Спасибо!

reference-request cg.comp-geom algebra

— bigmonachus
источник

Просто чтобы заполнить пробелы: абстрактная алгебра - это изучение наборов элементов, которые уважают определенные правила. Как вы уже догадались, правила, которым удовлетворяют эти множества, - это такие свойства, как замыкание, элементы тождества, существование уникальных инверсий, а также переход к коммутативности, ассоциативности и т. Д. Это изучение алгебры множеств, которые не обязательно ведут себя как действительные числа. (хорошим примером являются перестановки).

— Росс Снайдер

en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra

— Каве

Я предполагаю, что мой второй вопрос был немного пропущен. Я знаю некоторую теорию групп. Я знаю, что такое кольцо и поле. Это просто , что в статье они определяют в абстрактной алгебре: «Ребро алгебра является абстрактная алгебра (Е, Е *, ONEXT, гниль, Флип) , удовлетворяющие свойства E1-E5 и F1-F5»

— bigmonachus

[...] и я понятия не имею, что это значит. Это не алгебра над полем, не так ли?

— bigmonachus

Я думаю, что формализм «краевой алгебры» Гибаса и Столфи немного ненужен.

Все, что действительно необходимо, - это помнить различие между первичным и двойственным графами. Каждая грань первичного графа имеет соответствующую двойственную вершину ; каждому ребру основного графа соответствует двойственное ребро ; и каждая вершина основного графа имеет соответствующую двойственную грань . Первичные ребра соединяют первичные вершины и отдельные первичные грани; двойные ребра соединяют двойные вершины и отдельные двойные грани. Двойственный дуал чего-либо - это оригинальная вещь. Смотрите рисунок 4 в статье Гибаса и Столфи: $f$ $f^*$ $e$ $e^*$ $v$ $v^*$

Первичные и двойственные графы

$\vec{e}$ $\text{tail}(\vec{e})$ $\text{head}(\vec{e})$ $\text{left}(\vec{e})$ $\text{right}(\vec{e})$ $\text{tail}(\vec{e})$ $\text{left}(\vec{e})$

$\vec{e}$

$\text{tailNext}(\vec{e})$ $\text{tail}(\vec{e})$ $\vec{e}$
$\text{flip}(\vec{e})$ $\vec{e}$ $\text{left}(\vec{e})$ $\text{right}(\vec{e})$
$\text{rotate}(\vec{e})$ $\vec{e}$

tailNext, вращать и переворачивать

Эти три функции удовлетворяют всем видам замечательных идентичностей, таких как следующее:

$\text{right}(\text{tailNext}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
$\text{right}(\text{flip}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
$\text{right}(\text{rotate}(\vec{e})) = \text{head}(\vec{e})^*$
$\text{flip}(\text{flip}(\vec{e})) = \vec{e}$
$\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$
$\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$

$e~Flip$ e.Flip

Кроме того, учитывая эти три функции, можно определить несколько других полезных функций, таких как

$\text{reverse}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{flip}(\text{rotate}(\vec{e})))$
$\text{leftNext}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))))$ $\vec{e}$ $\text{left}(\vec{e})$

Наконец, знание этих функций говорит вам абсолютно все о топологии подразделения, и любое многоугольное подразделение любой поверхности (ориентируемой или нет) может быть закодировано с использованием этих трех функций.

Структура данных с четырьмя ребрами - это особенно удобное представление поверхностного графа, который обеспечивает доступ ко всем этим функциям, а также к некоторым другим операциям постоянного времени, таким как вставка, удаление, сжатие, расширение и отражение краев; расщепление или слияние вершин или граней; и добавление или удаление ручек или перекрестных заглавных букв.

Веселиться!

— Jeffε
источник

Я использовал OmniGraffle.

— Джефф