«Родственники» проблемы кратчайшего пути

Рассмотрим связный неориентированный граф с неотрицательными весами ребер и двумя выделенными вершинами $s,t$ . Ниже приведены некоторые задачи на пути, которые имеют следующую форму: найдите путь $s-t$ , чтобы некоторая функция весов ребер на пути была минимальной. В этом смысле все они являются «родственниками» проблемы кратчайшего пути; в последнем случае функция - это просто сумма.

Примечание. Мы ищем простые пути, то есть без повторяющихся вершин. Поскольку в литературе я не нашел стандартных названий этих проблем, я назвал их сам.

Траектория с минимальным разрывом в весе: найдите $s-t$ траекторию, чтобы разница между наибольшим и наименьшим весом ребер на трассе была минимальной.

Самый плавный путь: найдите путь $s-t$ , чтобы наибольший размер шага на пути был минимальным, где размер шага - это абсолютное значение разницы в весе между двумя последовательными ребрами.

Траектория с минимальной высотой. Давайте определим высоту трассы суммой размеров шагов вдоль пути (см. Определение размера шага выше). Найти $s-t$ путь с минимальной высотой.

Путь с минимальным простым весом: предполагая, что все веса ребер являются натуральными числами, найдите путь $s-t$ , чтобы его вес был простым числом. Если есть такой путь, найдите тот с наименьшим возможным основным весом.

Вопрос: что известно об этих проблемах пути? (И другие, которые можно было бы представить в том же духе, применяя другую функцию весов.) В целом, есть ли какое-либо указание, что какие функции весов ребер могут быть минимизированы за полиномиальное время, а какие являются NP-сложными?

$s$$t$$s-t$

Вот ответ на первую проблему:

Траектория с минимальным разрывом в весе: найдите s - t$s-t$

В статье 1984 года показано, что всякий раз, когда мы можем решить вопрос о выполнимости (существует ли решение в невзвешенном случае) для некоторой задачи комбинаторной оптимизации за полиномиальное время, тогда мы также можем найти за полиномиальное время решение, минимизирующее разницу между наибольшим и наименьшим Коэффициент стоимости (в взвешенном случае):

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra
Сбалансированные задачи оптимизации
Письма об исследовании операций 3, 1984, стр. 275-278

Это подразумевает алгоритм полиномиального времени на ваш вопрос.

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$даже для двоичных весов: достаточно отслеживать полиномиально много (в зависимости от ) самых низких весов пути в каждой точке. Однако при использовании простых весов нам, возможно, придется диверсифицировать делители весовых различий (вместо того, чтобы просто отслеживать самые низкие веса), и неясно, достаточно ли этого.$S$

Плавный путь: НП завершен. Если бы мы разрешали самопересечения, это было бы разрешимо во времени , но для версии без самопересечений здесь приведено сокращение от 3-SAT с переменными. Иметь вершины , плюс вершины для каждого предложения. Для каждой переменной ( ) добавьте плавный путь (при необходимости используя дополнительные вершины) из в который проходит через все предложения с положительным вхождением , и аналогичный путь для предложений с$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$, Установите вес первого и последнего ребра каждого пути равным 1 (или другой константе), но в противном случае выбирайте веса так, чтобы другие пути не были гладкими. Наконец, продублируйте все вершины клаузулы и прилегающие ребра; таким образом, каждое предложение может быть просмотрено не более двух раз, что достаточно для 3-SAT.