Когда мы нашли лучшие оценки для известных алгоритмов?

Существуют ли интересные примеры алгоритмов, которые были опубликованы с проверенными границами, и где позже были опубликованы строго лучшие оценки? Не лучшие алгоритмы с лучшими оценками - очевидно, что это случилось! Но лучший анализ ведет к лучшей оценке существующего алгоритма

Я думал, что умножение матриц было примером этого, но я отговорил себя от этого (возможно, неправильно!) После попытки лучше понять Копперсмит-Виноград и его друзей.

Союз-Найти алгоритм, который Тарьян ¹ показал имел сложность $n \alpha(n)$ , где $\alpha(n)$ является функцией обратного Акерманном, были проанализированы ранее несколькими людьми. Согласно Википедии, это было изобретено Галлером и Фишером ² , но это кажется неправильным, поскольку у них не было всех компонентов алгоритма, необходимых для его быстрой работы.

Основываясь на кратком просмотре статей, кажется, что алгоритм был изобретен Хопкрофтом и Уллманом ³ , которые дали (неправильную) $O(n)$ временную границу. Затем Фишер ⁴ нашел ошибку в доказательстве и дал временную привязку $O(n \log\log n)$ . Затем Хопкрофт и Ульман ⁵ дали ограничение по времени $O(n \log ^*n)$ , после чего Тарьян ¹ нашел ограничение по времени (оптимальное) $O(n \alpha(n))$ .

¹ Р. Е. Тарьян, «Эффективность хорошего, но не линейного алгоритма объединения множеств» (1975).
² Б. С. Галлер и М. Дж. Фишер, «Улучшенный алгоритм эквивалентности» (1964).
³ JE Hopcroft и JD Ullman, «Алгоритм слияния линейных списков» (1971).
⁴ М.Дж. Фишер, «Эффективность алгоритмов эквивалентности» (1972).
⁵ JE Hopcroft и JD Ullman, "Алгоритмы объединения множеств" (1973).

Известно, что алгоритм Патури, Пудлака, Сакса и Зейна (PPSZ) для $k\text{-} \mathrm{SAT}$ имеет время пробега $O(1.364^n)$ для $3\text{-}\mathrm{SAT}$ с лучшей границей $O(1.308^n)$ для формул гарантировано уникальное удовлетворяющее задание. Позже Хертли дал улучшенный анализ, показывающий, что эта улучшенная граница времени выполнения также справедлива для общего случая, таким образом показывая, что PPSZ является лучшим алгоритмом для $3\text{-}\mathrm{SAT}$ известно в то время.

Атака затор упоминает , что анализ общего решето числового поля (применительно к вычислению дискретных логарифмов над $\mathbb{F}_p$ ) шаг спуска был tightend см в левом верхнем углу 3 - й странице. Поскольку это единственный шаг, который не может быть предварительно вычислен (если $\mathbb{F}_p$ фиксирован), его эффективность сыграла важную роль в их атаке.

Первоначальный анализ , как представляется, в Gordon 92 , где спуск стоило аналогично предвычисления, при $L_p(1/3, 3^{2/3})$ . Туже анализ , кажется, от тезиса Barbulescu в , где спуск стоило в $L_p(1/3, 1.232)$ , где:

$k$$O(n^{k+o(1)})$$O(n^{2k-2})$$O(n^{1.98k+O(1)})$

$\Omega(n^k)$

Примечание: выступление Джейсона Ли (и соответствующие слайды) можно найти на веб-сайте TCS + .

$k$

Алгоритм работы функции для $k$-сервер был показан $(2k-1)$-конкурентоспособен Кутсипиасом и Пападимитроу - алгоритм был известен ранее и анализировался только в особых случаях. Предполагается, что$k$-конкурентный.

$3$-Для решения множества было несколько итераций «лучшего анализа» (см. Статьи Фернэу [1] [2] ). Алгоритм, описанный в этой статье, имел несколько произвольных вариантов (например, «выберите ребро» ...), но когда варианты специально выбранный определенным образом, он позволяет проводить более изысканный анализ, в этом и заключается улучшение. И я думаю, что его Приложения в 1дать более точный анализ (подсчет подзадач / подструктур), приводящий к лучшим повторениям и, таким образом, лучшему времени выполнения. Я думаю, что есть много таких примеров в литературе по параметризованной сложности, где добавление еще одной переменной в анализ может привести к улучшению времени выполнения, но я уже несколько лет не играю в эту игру и не могу думать о конкретных момент Существует ряд статей в областях FPT и PTAS, которые появляются при поиске «улучшенного анализа» в названиях статей.

Если указание выбора считается одним и тем же алгоритмом (например, эвристика ранга глубины объединения), то алгоритм Эдмондса-Карпа является «улучшенным анализом» Форда-Фулкерсона, и я полагаю, что существует множество других проблем, которые имеют алгоритмы которые видели улучшения во время выполнения от новых правил выбора.

Затем идет целая куча амортизированного анализа существующих алгоритмов (я думаю, что union-find подходит под это описание, вот еще один https://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7 )