Результаты начальной загрузки, которые действительно загружают

В TCS есть тип результатов, обычно называемый результатами начальной загрузки . В общем, это имеет вид

Если предложение выполнено, то предложение выполнено.$A$$A'$

где и - предложения, которые выглядят одинаково, а по-видимому, "слабее", чем , и именно поэтому мы называем этот тип результатов. Позвольте мне привести несколько конкретных примеров:$A$$A'$$A$$A'$

Теорема. [Чен и Скажи, STOC'19] Исправьте любую проблему . Предположим, что для каждого существует бесконечно много таких, что для цепей глубины требуется более проводов для решения проблема . Тогда для любого , не может быть решено с помощью цепей глубины и проводов, и поэтому .$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$$c>1$$d\in \mathbb{N}$$\mathcal{TC}^0$$d$$n^{1+c^{-d}}$$\Pi$$d_0,k \in \mathbb{N}$$\Pi$$\mathcal{TC}^0$$d_0$$n^k$$\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

Теорема. [Gupta et al., FOCS'13] Предположим, что для вычисления перманента требуются арифметические схемы глубиной $3$ размер которых больше $n^{\Omega(\sqrt{n})}$ , над полями характеристики $0$ . Тогда вычисление перманента требует арифметических схем суперполиномиального размера, и поэтому гипотеза Валианта верна.

Что ж, более известный, но не очень подходящий пример исходит из мелкой сложности:

Теорема. [Backurs and Indyk, STOC'15] Если мы сможем вычислить EDIT DISTANCE за $O(n^{2-\epsilon})$ времени (в модели RAM), то мы получим SAT-решатель быстрее, чем любой из существующих в настоящее время.

Обновить. (10 июля 2019 г.) Пример редактирования расстояния может быть немного запутанным. Обратитесь к ответу Райана для «стандартного» примера.

Как вы, возможно, предположили, (насколько мне известно) все результаты этого типа подтверждаются с помощью контрапозитива (я взял контрапозитив на расстоянии редактирования). Так что в некотором смысле это все алгоритмические результаты.

Обычно есть два способа понять результат начальной загрузки. 1. Нам нужно только доказать а затем применить результат, если мы хотим доказать ; 2. Доказательство может быть трудным, потому что априори мы думаем, что доказать сложно.$A$$A'$$A$$A'$

Проблема в том, что один (или, точнее, я ) может быть едва ли оптимистичен и принимать первое понимание, если в конце концов не будет никакого положительного использования результатов начальной загрузки! Итак, мой вопрос

ли нам результаты начальной загрузки, в которых доказано ?$A$

Классический результат, который можно получить с помощью начальной загрузки (и применимый для доказательства реальных нижних границ), состоит в том, что в любой вычислительной модели, где у нас есть для некоторой константы , у нас фактически есть , для каждого .$TIME(n) \neq TIME(n^c)$$c > 1$$TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$$\epsilon > 0$

Идея состоит в том, что если , мы можем повторно применить аргумент заполнения, чтобы получить для каждой константы . Вы даже можете использовать такой аргумент для небольшого улучшения известных теорем иерархии времени в различных случаях.$TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$$TIME(n) = TIME(n^c)$$c$

Я не уверен, что это считается, потому что это все из той же статьи, но в первом проходе Крейга Джентри с полностью гомоморфным шифрованием на основе идеальных решеток он сначала показывает, что для построения схемы FHE достаточно построить "несколько «гомоморфная» схема шифрования с определенным свойством (схема его расшифровки меньше, чем глубина, которую схема может зашифровать). Затем он, много потрудившись, показывает, как построить такую ​​несколько гомоморфную схему шифрования.

Недавнее доказательство Хуан $A'$Гипотеза о чувствительности, включающая доказательство $A$Известно, что это подразумевает. Смотрите блог Ааронсона:

Из пионерской работы Гоцмана и Линиала в 1992 году было известно, что для доказательства гипотезы о чувствительности достаточно доказать следующую, еще более простую комбинаторную гипотезу $A$:

Пусть S - любое подмножество n-мерного булева гиперкуба, $\{0,1\}^n$, который имеет размер $2^{n-1}+1$, Тогда в S должна быть точка с не менее чем ~ nc соседями в S.

Одна вещь, которая приходит на ум, в теории компьютерного обучения, это повышение . По существу:

В настройке PAC, если у вас есть слабый ученик для класса $\mathcal{C}$ (то есть, что-то делает «просто лучше», чем случайное угадывание), тогда вы получаете (сильный) ученик для класса $\mathcal{C}$,

Как правило, это действительно используется для получения слабого ученика.