Зачем двоеточию обозначать, что значение принадлежит типу?

Пирс (2002) вводит отношение типирования на странице 92, записывая:

Отношение типа для арифметических выражений, написанное «t: T», определяется набором правил вывода, назначающих типы терминам

и сноска говорит, что символ часто используется вместо:. Мой вопрос просто, почему теоретики типов предпочитают использовать: over ? Если тип является набором значений, то имеет смысл написать , никаких новых обозначений не требуется.$\in$$\in$$T$$t \in T$

Похоже ли это на то, что некоторые авторы cs предпочитают даже считая, что это злоупотребление нотацией и должно быть написано ?$3n^2 = O(n^2)$$3n^2 \in O(n^2)$

Потому что то, что справа от двоеточия, не обязательно является набором, а то, что слева от двоеточия, не обязательно является членом этого множества.

Теория типов началась в начале 20-го века как подход к основанию математики. Бертран Рассел обнаружил парадокс в наивной теории множеств, и он работал над теорией типов как способом ограничить выразительную силу теории множеств, чтобы избежать этого (и любого другого) парадокса. За прошедшие годы Рассел и другие определили множество теорий типов. В некоторых теориях типов типы - это наборы с определенными свойствами, но в других - это другой тип зверя.

В частности, многие теории типов имеют синтаксическую формулировку. Есть правила, которые заставляют вещь иметь тип. Когда правила печатания используются в качестве основы для теории, важно отличать то, что говорят правила печатания, от того, что можно вывести, применяя дополнительные внешние знания. Это особенно важно, если правила типизации являются основой для теории доказательств: теоремы, которые основаны на теории множеств с классической логикой и аксиомой выбора, могут, например, быть или не быть в конструктивной логике. Одна из основополагающих работ в этой области - « Формулировка простой теории типов» Черча (1940)

Возможно, способ, которым различие между типами и наборами является наиболее очевидным, состоит в том, что самое основное правило для наборов, а именно, что два набора равны, если они имеют одинаковые элементы, обычно не применяется к типам. См . Ответ Андрея Бауэра здесь и его ответ на связанный вопрос для некоторых примеров. Эта вторая тема имеет другие ответы, которые стоит прочитать.

В типизированном исчислении сказать, что типы являются множествами, фактически дать семантику типам. Дать исчисление теоретико-типовой семантики нетривиально. Например, предположим, что вы определяете язык с помощью функций. Какой набор является типом функции? Полные функции определяются их графом, как нас учат в теории множеств 101. Но как насчет частичных функций? Хотите ли вы дать всем не завершающим функциям одинаковую семантику? Вы не можете интерпретировать типы как наборы для исчисления, которое допускает рекурсивные функции, пока вы не ответите на этот вопрос. Придание денотативной семантики языкам программирования или исчисления было трудной проблемой в начале 1970-х годов. Основным документом здесь является На пути к математической семантики для компьютерных языков (1971) поДана Скотт и Кристофер Стрейчи . В Haskell wikibook есть хорошая презентация темы.

Как я писал выше, вторая часть ответа заключается в том, что даже если вам удалось дать типам теоретико-множественную семантику, вещь слева от двоеточия не всегда является элементом множества. Значения имеют типы, но также и другие вещи, такие как выражения и переменные . Например, выражение в типизированном языке программирования имеет тип, даже если оно не заканчивается. Вы можете быть готовы приравнивать integerи $\mathbb{Z}$ , но (x := 0; while true; do x := x + 1; x)это не является элементом $\mathbb{Z}$ .

Я не знаю, когда возникли обозначения двоеточия для типов. Теперь он стандартен в семантике и распространен в языках программирования, но ни Рассел, ни Черч не использовали его. Алгол не использовал его, но в значительной степени вдохновленный Алголом язык, который Паскаль использовал в 1971 году. Я подозреваю, что он был не первым, хотя во многих теоретических работах начала 1970-х годов используется обозначение, но я не знаю ранее использовать. Интересно, что это произошло вскоре после того, как концепции типов из программирования и логики были объединены - как показывает Саймон Мартини в книге «Несколько типов типов в языках программирования» , то, что до 1960-х годов называлось «типом» в языках программирования, пришло из народного языка. Использование слова, а не из теории типов.

Основная причина предпочтения записи двоеточия $t : T$ отношению членства $t \in T$ состоит в том, что отношение членства может вводить в заблуждение, поскольку типы не являются (просто) коллекциями .

[ Дополнительно: я должен отметить, что исторически теория типов была написана с использованием $\in$ . Концепция типа Мартина-Лёфа предназначалась для конструктивного захвата множеств, и уже Рассел и Уайтхед использовали $\epsilon$ для членства в классе. Было бы интересно отследить момент, когда $:$ стало более распространенным, чем $\in$ .]

Тип описывает определенный тип конструкции, т. Е. Как создавать объекты с определенной структурой, как их использовать и какие уравнения в них содержатся.

Например типа продукта × B есть правила вводных , которые объясняют , как сделать упорядоченные пары, а также правила элиминации объясняющих , что мы можем спроектировать первые и вторую компоненту из любого элемента A × B . Определение A × B вовсе не начинать со слов «совокупность всех ...» и ни делает это сказать где - нибудь что - нибудь вроде «все элементы A × B являются пары» (но это следует из определения , что каждый элемент × B является propositionally$A \times B$$A \times B$$A \times B$$A \times B$$A \times B$равно пару). В Контрасте, теоретико-множественное определение $X \times Y$ является указано как «множество всех упорядоченных пар ...».

Обозначения $t : T$ означает тот факт , что $t$ имеет структуру , описанную $T$ .

Тип $T$ не следует путать с его расширением , что совокупность всех объектов типа $T$ . Тип не определяется его расширением, так же как группа не определяется его набором несущих. Кроме того, может случиться так, что два типа имеют одинаковое расширение, но различаются, например:

1. Тип всех четных простых чисел, больших двух: $\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{iseven}(n) \times (n > 2)$ .
2. Тип всех нечетных простых чисел, меньших двух: $\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{isodd}(n) \times (n < 2)$ .

Расширение обоих пусто, но они не одного типа.

Существуют и другие различия между теоретикой типов $:$ и теорией $\in$ . Объект $a$ в теории множеств существует независимо от того, к каким наборам он принадлежит, и он может принадлежать нескольким множествам. В отличие от этого , большинство теорий типа удовлетворяют уникальность ввода: если $t : T$ и $t : U$ то $T \equiv U$ . Иными словами, теоретико-типовая конструкция $t$ имеет ровно один тип $T$ , и на самом деле нет способа иметь только объект $t$ без его (однозначно определенного) типа.

Другим отличием является то, что в теории множеств , мы можем отрицать тот факт , что $a \in A$ , написав $\lnot (a \in A)$ или $a \not\in A$ . Это невозможно в теории типов, потому что $t : T$ - это суждение, которое может быть получено с использованием правил теории типов, но в теории типов нет ничего, что позволило бы нам утверждать, что что-то не было получено. Когда ребенок делает что-то из блоков LEGO, они с гордостью бегут к родителям, чтобы показать им конструкцию, но они никогда не бегут к родителям, чтобы показать им, что они не сделали.

Бьорн,

Возможно, есть более ранняя ссылка, но, с одной стороны, двоеточие использовалось в языке программирования Pascal: