Техническая проблема с доказательством теоремы PCP

Отсюда я читаю доказательства и наткнулся на техническую (хотя и крайне важную) проблему. Я знаю, что это довольно специфично, и контекст проблематичен, но я не мог понять это сам.

На страницах 51 и 55 после представления «стандартных» верификаторов они поворачиваются, чтобы модифицировать верификаторы для проверки разделенных назначений.

В первом случае (стр. 51) они проверяют, что $f_1,\dots,f_k$ являются $0.01$ близкими к полиномиальному коду, а затем они используют алгебраизацию (+ тестеры нулей) для построения семейства полиномов (с суммой -Check свойство , относящееся к входной формуле) , что каждый из них может быть оценен в точке , заданной 3 значение каждого из $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (кодовые слова полинома кода к шкафу $f_1,\dots,f_k$ ).

Во втором случае (стр. 55) они проверяют , что $f_1,\dots,f_k$ в $0.01$ -близких к линейной, а затем они определяют функцию $f$ , чтобы быть специальной суммой $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ таким что $f$ может быть оценена в точке , заданной величины каждого из $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (линейные функции шкафу $f_1,\dots,f_k$ ).

Тогда в обоих случаях они выполняют тесты (Sum-Check или Tensor + Адамара) на значения случайного полинома в семье / $\widetilde{f}$ .

Моя проблема заключается в том , что процедура восстановления требуемых значений каждого из $\widetilde{f}_i$ могу предоставить неправильные значения с некоторым пренебрежимо малой вероятностью постоянной . Более того, вероятность того, что все значения восстановлены правильно, очень мала, только $c^k$ для некоторой константы $c$ . И это верно для обоих случаев.

Это может быть плохо, так как некоторые из этапов верификаторов требуют получения значений целевой функции $f$ / многочлена из семейства whp

$O(\log k)$$\widetilde{f}_i$

$k$$O(k\log k)$$O(k)$

Это проблема, или я что-то упустил (что я, вероятно, я)?

$O(1)$$O(poly(logn))$

$O(1)$

$O(poly(f(n)))$

$O(1)$