Какой самый сложный пример для проблемы группового изоморфизма?

Две группы и называются изоморфными, если существует гомоморфизм из в который является биективным. Проблема группового изоморфизма заключается в следующем: для двух групп проверьте, изоморфны они или нет. Существует несколько способов ввода группы, два из которых в основном используются таблицей Кейли и генерирующим набором. Здесь я предполагаю, что входные группы задаются их таблицей Кэли. Более формально:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ Две группы и .$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Является ли ?$G \cong H$

Предположим, что$n = |G| = |H|$

Проблема группового изоморфизма, когда входные группы задаются таблицей Кэли, в общем случае неизвестна в . Хотя существуют групповые классы, такие как класс абелевых групп, для которых известно, что проблема существует за полиномиальное время, группы, являющиеся продолжением абелевой группы, простые группы и т. Д. Даже для нильпотентных классов из двух групп нет алгоритма, лучше, чем грубая сила. известный.$\textbf{P}$

Алгоритм перебора для группового изоморфизма дан Тарьяном, который заключается в следующем. Пусть и две входные группы, и пусть порождающее множество группы . Хорошо известно, что каждая конечная группа допускает порождающий набор размером который можно найти за полиномиальное время. Число образов порождающего множества в гомоморфизме из в равно много. Теперь проверьте, является ли каждый возможный гомоморфизм биективным или нет. Общее время выполнения будет .$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

Позвольте мне сначала определить центр группы :$G$

$Z(G)$ обозначает элементы группы , перестановочный со всеми другими элементами группы . Группы, для которых (/ используется для частного) является абелевой, известны как нильпотентные группы двух классов. Мне кажется, что нильпотентные группы второго класса - самые трудные примеры для решения проблемы изоморфизма групп. Значение «самых сложных случаев» таково: решение этого случая позволит исследователям, работающим в теории групп, решить проблему изоморфизма большого числа групп.$G$$G$$G/Z(G)$

Первоначально я думал, что простые группы являются самыми сложными примерами, поскольку они являются строительными блоками для всех групп, но позже узнал, что проблема изоморфизма простых групп находится в .$\textbf{P}$

Вопрос : Какой самый сложный пример для проблемы группового изоморфизма?

$p$Считается, что -группы класса 2 и показателя степени являются самым сложным случаем изоморфизма групп ( ). (Для нам нужно рассмотреть показатель 4, так как все группы показателя 2 абелевы - простое упражнение для читателя.) Хотя пока еще нет сокращения от общего GpIso до этого класса групп (хотя см. Пункт 0.5 ниже). Есть несколько причин для этого убеждения. Позвольте мне изложить некоторые из них здесь.$p$$p > 2$$p=2$

0) Практический опыт (см. Статьи Ньюмана, Эйка, О'Брайена, Холта, Кэннона, Уилсона, ... которые дают алгоритмы, которые реализованы в GAP и MAGMA).

0,5) [ПРАВКА: добавлено 8/7/19] Сокращения. Когда такие -группы задаются порождающими наборами матриц над , проблема является -полной [ G.-Qiao '19 ]. Также (см. Пункт (4) ниже) изоморфизм -групп экспоненты и класса сводится за многократное время к изоморфизму -групп экспоненты и класса 2 (там же).$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$$p$$p$$c < p$$p$$p$

1) Структура (сводится к разрешимой, затем к -группе). Каждая конечная группа содержит единственную максимально разрешимую нормальную подгруппу, называемую разрешимым радикалом, обозначаемую . содержит абелевых нормальных подгрупп, и изоморфизм таких групп может быть эффективно обработан на практике ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) и в теории ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ). Даже для групп, где абелева, некоторые из них могут быть обработаны за время ( G-Qiao CCC '14, SICOMP '17 ) - так что не совсем многочлен, но гораздо ближе, чем$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$, Таким образом, основным препятствием являются разрешимые (нормальные подгруппы). В настоящее время в разрешимых группах существует много структур - начиная с того факта, что каждая разрешимая группа является вязким произведением своих силовских подгрупп, и, по-видимому, наиболее сложными являются .$p$$p$

2) Подсчет. Число групп порядка равно , где - наибольший показатель любого простого числа деление ( Pyber 1993 ). Число -групп порядка составляет не менее ( Higman 1960 ). Итак, вы видите, что коэффициент ведущих членов в показателях степени совпадает. В этом смысле «большинство» групп являются -группами (даже класса 2 и степени ). Существует давняя гипотеза, которая говорит, что «большинство» в предыдущем слабом смысле может быть усилено, чтобы сказать, что пропорция групп порядка$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$$p$$p$$\leq n$ которые являются -группами, стремится к 1 при .$p$$n \to \infty$

3) Универсальность (/ дикость). Определение классификации -групп подразумевает классификацию всех модулярных представлений любой конечной группы (или даже артиновой алгебры) в характеристике ( Сергейчук, 1977 ).$p$$p$

4) Гибкость. Почему группы класса 2, а не высшего класса? (Обратите внимание, что -группы почти максимального класса, так называемого «малого кокласса», по существу, были классифицированы, Eick & Leedham-Green 2006 , см. Также некоторые ответы здесь .) Для любого$p$$p$$p$-группе можно связать градуированное кольцо Ли, где скобка в кольце Ли соответствует коммутатору в группе. Ассоциативность в группе подразумевает тождество Якоби для скобки, что приводит к подлинному кольцу Ли. Тем не менее, обратите внимание, что когда группа относится к классу 2, тождество Якоби удовлетворяется тривиально (все ее члены автоматически равны 0), поэтому это не накладывает дополнительных ограничений на структуру. Это в основном просто соответствует произвольному кососимметричному билинейному отображению. Для -групп экспоненты , есть даже сокращение от класса к классу 2.$p$$p$$c < p$