Является ли DSPACE (n) = DSPACE (1,5n)?

Из теоремы о пространственной иерархии известно, что если конструируемо в пространстве, то DSPACE ( ) не равно DSPACE ( . $f$ $2f(n)$ $f(n))$

Здесь под DSPACE ( я подразумеваю класс всех задач, которые могут быть решены в пространстве машиной Тьюринга с некоторым фиксированным алфавитом. Это позволяет с такой точностью рассматривать теорему о пространственной иерархии. $f(n))$ $f(n)$

Стандартный аргумент дает мультипликативную константу : нам нужно пространство для построения вычисления некоторой машины Тьюринга с помощью универсальной. Также нам нужно чтобы решить проблему с остановкой. $2$ $f(n)$ $f(n)$

Вопрос: Является ли DSPACE ( ) , равная DSPACE ( )? $f(n)$ $\frac{3}{2}f(n)$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Алексей Милованов
источник

Любая причина, вы заинтересованы в ? Будет ли одинаково интересным?

\frac{3}{2}

$\frac32$

1 + Ω (1)

$1+\Omega(1)$

— Томас

Почему вы думаете, что теорема о пространственной иерархии дает ? Я предполагаю, что вы утверждаете, что нам нужно пространство для симуляции и пространство для подсчета количества шагов, чтобы избежать бесконечных циклов. Но в обоих случаях нам нужно сначала отметить -ое местоположение на ленте (это можно сделать, так как конструируемо в пространстве), и как бы вы сделали маркировку? Ваш аргумент в порядке, если вы предполагаете, что машинам не разрешено писать *, но в противном случае потребуются некоторые дополнительные сложности.

2 f (n)

$2f(n)$

f (n)

$f(n)$

\log_{| Σ |} | Σ |^{f (n)}

$\log_{|\Sigma|} |\Sigma|^{f(n)}$

f (n)

$f(n)$

f

$f$

— Domotorp

@Tommas На самом деле я хочу

1 + o (1)

$1 + o(1)$

— Алексей Милованов

Можно доказать, что DSPACE $(f(\frac 32 n))\ne$ DSPACE $(f(n))$ если $f$ растет хотя бы линейно, используя простой вариант стандартного аргумента заполнения. Для языка $L$ пусть $L'=\{x0^{|x|/2}\mid x\in L\}$ .

Запрос. $L\in$ DSPACE $(f(n))$ тогда и только тогда, когда $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 23n))$ если $f(n)\ge \frac 32n$ .

(Мой первый ответ содержал несколько неправильных утверждений, спасибо Эмилю за то, что он это заметил.)

Сначала я покажу, как использовать утверждение, чтобы доказать иерархию. Поскольку $f$ растет хотя бы линейно, имеем DSPACE $(2f(n))\subset$ DSPACE $(f(2n))$ . Возьмем язык $L\in$ DSPACE $(f(2n))\setminus$ DSPACE $(f(n))$ . Используя утверждение, $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 43 n))=$ DSPACE $(f(n))$ , где последнее равенство является косвенным предположением. Но тогда $L\in$ DSPACE $(f(\frac 32 n))=$ DSPACE $(f(n))$ , где последнее равенство снова по косвенному предположению, что дает противоречие.

Доказательство претензии. Если $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 23 n))$ , то для доказательства $L\in$ DSPACE $(f(n))$ нам просто нужно написать $|x|/2$ 0 до конца ввода $x$ и моделируют машину, которая приняла $L'$ . Поскольку $f(n)\ge \frac 32 n$ , это не увеличит пространство, которое мы используем. (На самом деле, зная, сколько писать 0, совсем не ясно, если $f$ мало и мы не можем увеличить размер алфавита - вместо этого мы можем использовать другую ленту и записать на нее все, что будет после конца $x$ .)

Другое направление - это просто, заменяя 0 на *, если нам разрешено писать *. (См. Проблемы с этим в моем комментарии к вопросу.) Если нам не разрешено писать звезды, мы слегка модифицируем определение $L'$ как $L'=\{x10^{|x|/2}\mid x\in L\}$ . Теперь вместо записи звезд мы сохраняем исходный ввод $x10^{|x|/2}$ и работать с этим. Но когда мы достигаем 1, мы идем вправо, пока не нажмем еще 1, чтобы проверить, был ли это конец слова 1 или нет. Если мы нашли еще одну 1, мы просто вернемся к нашей 1. Если мы не нашли, мы все еще вернемся, но мы будем знать, что ее следует рассматривать как звезду - если мы будем писать на ней, то мы также пишем 10 после него, чтобы иметь новый маркер конца текущего слова. (На самом деле, в этой части также есть небольшая загвоздка, если $f$ мало - как мы можем проверить, имеет ли вход форму $x10^{|x|/2}$ ? Без уничтожения ввода я могу решить эту проблему, используя несколько головок для малого $f$ .)

— domotorp
источник

Я не понимаю аргумент вообще. В любом случае , я смотрю на это, строительство обивка только показывает , что если

, то

L \in D S P A C E (f (n))

$L\in\mathrm{DSPACE}(f(n))$

, что весьма отличается от претензии (обратите внимание на расположение

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))$

\frac{2}{3}

$\frac23$

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))$

L \in D S P A C E (f (n) + \frac{n}{2})

$L\in\mathrm{DSPACE}(f(n)+\frac n2)$

L \in D S P A C E (2 f (n))

$L\in\mathrm{DSPACE}(2f(n))$

L^{'} \in D S P A C E (\frac{4}{3} f (n) + \frac{n}{3}))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(\frac43f(n)+\frac n3))$

@ Emil Ты прав. Я пытался это исправить, это выглядит лучше?

— Домоторп

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n)) ⟹ L \in D S P A C E (f (n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))\implies L\in\mathrm{DSPACE}(f(n))$

O (\log n)

$O(\log n)$

f

$f$

D S P A C E (f (n)) ⊊ D S P A C E ((1 + ϵ) f (n))

$\mathrm{DSPACE}(f(n))\subsetneq\mathrm{DSPACE}((1+\epsilon)f(n))$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

f (n) < n

$f(n)<n$