Проблема принятия решения о том, подразумевает ли монотонный КНФ монотонный ДНФ

Рассмотрим следующую проблему решения

Входные данные : монотонный CNF $\Phi$ и монотонный DNF $\Psi$ .

Вопрос : $\Phi \to \Psi$ тавтология?

Определенно вы можете решить эту проблему в $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ -time, где $n$ - количество переменных в $\Phi \to \Psi$ а $l$ - длина ввода. С другой стороны, эта проблема является coNP-полной. Кроме того, сокращение , которое устанавливает CONP-полноту также показывает , что, если СЕТ не выходит из строя, нет никакого $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ алгоритм для этой задачи (это верно для любого положительного $\varepsilon$ ). Вот это сокращение. Пусть $A$ - (немонотонный) CNF, и пусть $x$ - его переменная. Замените каждое положительное вхождение $x$ на $y$ а каждое отрицательное вхождение $x$ на $z$ . Сделайте то же самое для каждой переменной. Пусть получающийся монотонный CNF будет $\Phi$ . Легко видеть, что $A$ выполнимо тогда и только тогда, когда $\Phi \to yz \lor \ldots$ не тавтология. Это сокращение увеличивает число переменных в 2 раза, что подразумевает $2^{n/2}$ (На основе SETH) нижняя граница, упомянутая выше.

Таким образом, есть промежуток между $2^{n/2}$ и $2^n$ временем. Мой вопрос: известен ли какой-нибудь лучший алгоритм или лучшее сокращение от SETH?

Всего два замечания, казалось бы, связанных с проблемой:

обратная проблема того, подразумевает ли монотонный DNF монотонный CNF, тривиально разрешима за полиномиальное время.
Интересно, что проблема принятия решения о $\Phi$ и $\Psi$ вычислить ту же функцию , может быть решена в квазиполинома времени из - за Fredman и Хачиян (О сложности дуализация монотонных дизъюнктивных нормальных форм, журнал алгоритмов 21 (1996), вып. 3 , стр. 618–628, дои: 10.1006 / яг.1996.0062 )

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Саша Козачинский
источник

Предполагая , что СЕТ, проблема не решаемая во время для любого . $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

Во-первых, позвольте мне показать, что это верно для более общей проблемы, где и могут быть произвольными монотонными формулами. В этом случае происходит многократное сокращение ctt от TAUT до задачи, которая сохраняет количество переменных. Пусть обозначает пороговую функцию $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ Используя сортировочную сеть Айтаи-Комлоса-Семереди, можно записать с помощью монотонной формулы полиномиального размера, построенной за время.

T_{T}^{N} ({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N - 1}) знак равно 1 ⟺ | {я < N : {Икс}_{я} знак равно 1} | \geq T,

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

Учитывая булеву формулу , мы можем использовать правила Де Моргана, чтобы записать ее в виде где монотонно. Тогда $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

φ^{'} ({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N - 1}, \neg {Икс}_{0}, ..., \neg {Икс}_{N - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

является тавтологией тогда и только тогда, когда монотонные значения

действительны для каждого

, где

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{T}^{N} ({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N - 1}) \to φ^{'} ({Икс}_{0}, ..., {Икс}_{N - 1}, N_{0}, ..., N_{N - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

Для импликации слева направо пусть будет присваиванием, удовлетворяющим , т. Е. По крайней мере с . Существует с ровно единицами. потом $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ , следовательно, влечет $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ . Поскольку это монотонная формула, мы также имеем . Слева направо аналогично. $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

Теперь позвольте мне вернуться к исходной проблеме. Я покажу следующее: если задача разрешима во времени , то для любого , -DNF-TAUT (или дважды -SAT) разрешима за время $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ . Это подразумеваетесли выполняется SETH. $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

Итак, предположим, что нам дано -DNF $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$ где

для каждого

. Разобьем

переменных на блоки

размером

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

каждый. По той же причинекак указано выше,

является тавтологией тогда и только тогдакогда последствия

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

справедливы для любого

-набора

, где для любого

, мы определяем

\begin{matrix} (*) & \underset{U < N^{'}}{⋀} T_{T_{U}}^{б} ({Икс}_{б U}, ..., {Икс}_{б (U + 1) - 1}) \to \underset{я < L}{⋁} (\underset{J \in A_{я}}{⋀} {Икс}_{J} \land \underset{J \in В_{я}}{⋀} N_{J}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{J} знак равно T_{T_{U}}^{б - 1} ({Икс}_{б U}, ..., {Икс}_{б U + J^{'} - 1}, {Икс}_{б U + J^{'} + 1}, ..., {Икс}_{б (U + 1) - 1}),

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$ является примером нашей проблемы размера

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$ в

n

$n$ переменные. По предположению, мы можем проверить его действительность во времени

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$ , Мы повторяем эту проверку для всех

b^{n^{'}}

$b^{n'}$ выбор

\vec{t}

$\vec t$ Таким образом, общее время

О ((б + 1)^{N / б} 2^{δ N + О (К б)} L^{О (1)}) знак равно О (2^{δ N + О (\sqrt{К N журнал N})} L^{О (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$ как утверждено.

Мы получаем более тесную связь с (S) ETH, рассматривая версию задачи с ограниченной шириной: для любого $k\ge3$ , позволять $k$ -MonImp обозначает ограничение проблемы, где $\Phi$ это $k$ -CNF и $\Psi$ это $k$ -DNF. (S) ETH касается констант

\begin{aligned} s_{К} & знак равно инф {δ : К - S A T \in D T я M Е (2^{δ N})}, \\ s_{\infty} & знак равно вир {s_{К} : К \geq 3}, \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Аналогично, давайте определимся

\begin{aligned} s_{К}^{'} & знак равно инф {δ : К - M о N я м п \in D T я M Е (2^{δ N})}, \\ s_{\infty}^{'} & знак равно вир {s_{К}^{'} : К \geq 3}, \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Очевидно, что

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ как в случае SAT. У нас также есть

s_{К}^{'} \leq s_{К},

$s'_k\le s_k,$ и уменьшение двойной переменной в вопросе показывает

s_{К} \leq 2 s_{К}^{'},

$s_k\le2s'_k.$ Теперь, если мы применим конструкцию выше с постоянным размером блока

b

$b$ , мы получаем

s_{К} \leq s_{б К}^{'} + \frac{журнал (б + 1)}{б},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ следовательно

s_{\infty} знак равно s_{\infty}^{'},

$s_\infty=s'_\infty.$ В частности, SETH эквивалентен

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ и ETH эквивалентно

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ для всех

k \geq 3

$k\ge3$ ,

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Спасибо за ваш ответ! Мне интересно, можно ли сделать

Φ

$\Phi$ и

Ψ

$\Psi$ постоянная глубина в этой конструкции? А именно, я не знаю, известны ли монотонные логические формулы постоянной глубины субэкспоненциального размера (или даже немонотонные схемы) для

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (в частности, для большинства)? Конечно есть

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ нижняя граница для глубины

d

$d$ но, скажем,

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ размер будет в порядке.

— Саша Козачинский

T_{k}^{n}

$T^n_k$ и вообще все, что можно вычислить по формулам полиномиального размера (т. е. в NC ^ 1), имеет

d

$d$ схемы размера

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ , См. Например, cstheory.stackexchange.com/q/14700 . Мне придется подумать, сможешь ли ты сделать их монотонными, но это звучит правдоподобно.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

OK. Во-первых, универсальная конструкция прекрасно работает в монотонной настройке: если функция имеет монотонные формулы разного размера, она имеет

d

$d$ монотонные схемы размера

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ для любого

d \geq 2

$d\ge2$ , Во-вторых, для

T_{k}^{n}

$T^n_k$ в частности, легко построить монотонную глубину

3

$3$ схемы размера

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ разделив входные данные на блоки размера

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ ,

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

На самом деле, продвигая эту идею немного больше, она дает ответ на первоначальный вопрос: предполагая, что SETH, нижняя граница сохраняется для

Φ

$\Phi$ монотонный CNF и

Ψ

$\Psi$ монотонный DNF. Я напишу это позже.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Я думаю, что вы можете разделить все переменные примерно на

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ блоки

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ а потом пишешь

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ для каждого

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ , Ты можешь использовать

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ размер CNF для каждой пороговой функции. Но тогда с правой стороны у вас будет не DNF, а формула глубины 3 ...

— Саша Козачинский