Существуют ли какие-либо сложные случаи использования 3-SAT, когда в предложениях можно использовать только те литералы, которые находятся «рядом» друг с другом?

Пусть переменные будут $x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$ . Расстояние между двумя переменными определяется как $d(x_a , x_b) = |a-b|$ , Расстояние между двумя литералами - это расстояние между соответствующими двумя переменными.

Предположим, у меня есть экземпляр 3-SAT такой, что для каждого предложения $(x_a , x_b, x_c)$ имеем $d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$ для некоторого фиксированного значения $N$ .

Концептуально вы можете изобразить это, поскольку все литералы физически находятся на одной линии, и все пункты не могут выйти за пределы определенной длины по физическим причинам.

Учитывая это ограничение, существуют ли какие-либо трудные случаи 3-SAT? Насколько маленький я могу сделать соседство и все еще найти трудные экземпляры? Что если я позволю нескольким пунктам нарушить ограничение?

Я имею в виду, что эвристический решатель остановится на худшем случае.

np-hardness sat

— IIAOPSW
источник

«Я имею в виду, что эвристический решатель остановится на худшем случае». не звучит четко для меня. Можем ли мы истолковать ваш вопрос как вопрос о том, существует ли алгоритм полиномиального времени, который решает все такие случаи 3-SAT? Или спрашивать о сложности / сложности этой проблемы?

— DW

«Можем ли мы истолковать ваш вопрос как вопрос о том, существует ли алгоритм полиномиального времени, который решает все такие случаи 3-SAT?» Я думаю, это то, что я ищу.

— IIAOPSW

Требуемое местное расположение также известно как 1D «геометрически локальный» и является преобладающим значением «локальности» для физиков. Теперь, если кто-то обобщает ваш вопрос на квантовый случай и от битов (2 состояния) до частиц с 8 состояниями, квантовая версия вашей проблемы действительно QMA-полная («квант-NP») в 1D: см. Arxiv.org/ abs / 1312.1469 Для кубитов задача является QMA-полной в 2D. arxiv.org/abs/quant-ph/0504050

— Мартин Шварц,

Ах, так это правда, что физик не может спрятаться среди компьютерщиков. Ты поймал меня. Зачем вам 8 штатов? Просто используйте кубиты, утроите размер окрестности и используйте каждые 3 кубита для кодирования частицы из 8 состояний.

— IIAOPSW

Конечно, но тогда у вас достаточно высокая локальность, то есть ваши локальные операторы охватывают много кубитов. Это направление исследований также было сосредоточено на минимизации локальности (в идеале 2-локальных) за счет частиц более высокого размера и соответствующих компромиссов.

— Мартин Шварц

Ответы:

Нет. Если у экземпляра 3-SAT есть предложений, то вы можете проверить выполнимость за времени. Поскольку - фиксированная константа, это алгоритм за полиномиальное время, который решает все случаи вашей проблемы. $m$ $O(m 2^N)$ $N$

$m$ $\varphi_i$ $x_1,\dots,x_i$ $S_i \subseteq \{0,1\}^n$ $x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$ $\varphi_i$ $S_{i-1}$ $S_i$ $O(2^N)$ $(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$ $x_i$ $\varphi_i$ $x_i$ $(x_{i-N},\dots,x_{i})$ $S_i$ $i$ $S_i$ $m$ $S_m \ne \emptyset$ $O(2^N)$ $m$ $O(m 2^N)$

$t$ $O(m 2^{(t+1)N})$ $t$

— DW
источник

Граф инцидента формулы SAT - это двудольный граф, который имеет вершину для каждого предложения и каждой переменной. Мы добавляем ребра между предложением и всеми его переменными. Если граф инцидентов имеет ограниченную ширину дерева, тогда мы можем определить формулу SAT в P, на самом деле мы можем сделать гораздо больше. Ваш график инцидентов очень ограничен. Например, это ограниченный граф траектории, поэтому он решается за полиномиальное время. Для вышеупомянутого хорошо известного структурного результата, например, взгляните на: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106 .

— Saeed
источник

На самом деле, даже первичный граф (одно ребро между двумя вершинами, если они появляются в одном и том же предложении) имеет ограниченную ширину пути в этом случае. См. Также (1), который может быть более доступным, или ответ @DW, который является примерно той же идеей, что и эти алгоритмы. (1) алгоритмы для подсчета высказываний модели , Марко Самер, Стефан Szeider, Дж Дискретные алгоритмы, том 8, номер 1, страницы 50-64, 2010.

— holf