Обобщение утверждения, что моноид распознает язык, если синтаксический моноид делит моноид

Позволять $A$быть конечным алфавитом. Для данного языка$L \subseteq A^{\ast}$синтаксический Моноид $M(L)$является известным понятием в теории формального языка. Кроме того, моноид$M$ признает язык $L$ если существует морфизм $\varphi : A^{\ast} \to M$ такой, что $L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$,

Тогда у нас есть хороший результат:

Моноид $M$ признает $L \subseteq A^{\ast}$ если $M(L)$ является гомоморфным образом подмоноида $M$ (написано как $M(L) \prec M$).

Вышеуказанное обычно имеет место в контексте обычных языков, и тогда все приведенные выше моноиды конечны.

Теперь предположим, что мы заменим $A^{\ast}$ с произвольным моноидом $N$и мы говорим, что подмножество $L \subseteq N$ признан $M$ если существует морфизм $\varphi : N \to M$ такой, что $L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$, Тогда у нас еще есть, если$M$ признает $L$, тогда $M(L) \prec M$ (см. S. Eilenberg, Автоматы, Машины и Языки, Том B), но верно ли обратное?

В доказательство для $A^{\ast}$ обратное доказывается путем использования свойства, если $N = \varphi(M)$ для некоторого морфизма $\varphi : M \to N$ а также $\psi : A^{\ast} \to N$ также морфизм, то мы можем найти $\rho : A^{\ast} \to M$ такой, что $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ держит, просто выбрав некоторые $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ для каждого $x \in A$ и распространяя это на морфизм из $A^{\ast}$ в $M$, Но это не работает для произвольных моноидов$N$поэтому я ожидаю, что приведенное выше утверждение будет ложным. И если это неверно, то для какого рода моноид у$A^{\ast}$ все еще верно, и эти моноиды получили какое-либо внимание в исследовательской литературе?

Да, эти моноиды получили внимание в исследовательской литературе и фактически приводят к сложным вопросам.

Определение . Моноид$N$называется проективным, если выполняется следующее свойство: если$f:N \to R$ является моноидным морфизмом и $h:T \to R$ является сюръективным морфизмом, то существует морфизм $g:N \to T$ такой, что $f = h \circ g$.

Вы можете найти длинное обсуждение проективных моноидов в [1], сразу после определения 4.1.33. В частности, показано, что каждая проективная конечная полугруппа является полосой (полугруппой, в которой каждый элемент идемпотентен). Но обратное неверно, и это действительно открытая проблема, чтобы решить, является ли конечная полугруппа проективной.

[1] Дж. Роудс и Б. Стейнберг, The$q$теория конечных полугрупп . Спрингер Монографии по математике. Springer, New York, 2009. XXII + 666 стр. ISBN: 978-0-387-09780-0