Какова ширина пути 3D-сетки (сетка или решетка) с длиной стороны k?

Я задавал этот вопрос несколько недель назад в mathoverflow , но не получил ответа.

Здесь под 3D-сеткой с длиной стороны я имею в виду граф G = ( V , E ) с V = { 1 , … , k } 3 и E = { ( ( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | а - х | + | б - у | + | $k$$G=(V,E)$$V= \{1,\ldots,k\}^3$ , т. Е. Узлы размещаются в трехмерных целочисленных координатах между 1 и k , и узел соединяется не более чем с 6 другими узлами, которые отличаются точно одной координатой на одну.$E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$$k$

Как называется этот график? Я буду использовать 3D-сетку, но, возможно, другие люди привыкли к 3D-сетке или 3D-решетке.

Какова ширина или траектория этого графика? Это уже где-то опубликовано?

Я уже знаю , что , то есть это действительно меньше , чем к 2 . Для меня это говорит о том, что стандартные аргументы, показывающие, что 2D-сетка k × k имеет ширину дерева и ширину пути k , не будут легко обобщаться.$tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$$k^2$$k\times k$$k$

Чтобы увидеть это, рассмотрим разложение пути, которое «охватывает» сетку, используя в основном наборы узлов вида . Соблюдайте | S c | ≤ ( 3 / 4 ) к 2 + O ( K ) , S 3 / 2 к быть самым большим таким набором. Наборы между S c и$S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$$|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$$S_{3/2 k}$$S_c$ создаются путем перемещения по линии и требуют O ( k ) дополнительных узлов, чтобы быть разделителями. Точнее, использовать множества S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) $S_{c+1}$$O(k)$$S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$как разложение пробега .$G$

У меня также есть идея для доказательства, которое показывает , но оно еще не закончено.$tw(G) = \Omega(k^2)$

Ширина пути может быть определена как следствие некоторых известных результатов. FitzGerald [2] показал, что полоса пропускания P 3 k составляет ⌊ $P^3_k$$P^3_k$$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$$P^3_k$$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

$P^3_k$

К вашему сведению: я только что отправил англоязычную версию нашей статьи в arXiv.

1. Б. Боллобас и И. Лидер, Сжатия и изопериметрические неравенства, Дж. Комбин. Теория Сер. A 56 (1991) 47-62.
2. CH FitzGerald, Оптимальное индексирование вершин графов, Матем. Комп. 28 (1974), 825-831.
3. Л. Харпер, Оптимальные нумерации и изопериметрические задачи на графах, Дж. Комбин. Теория 1 (1966) 385-393.
4. $n$
5. $n$

Путь прохождения трехмерных сеток был изучен Рёхей Суда , Йотой Отачи и Коичи Ямазаки в статье « Путь прохождения трехмерных сеток» , IEICE Tech. Отчет, 2009.

В реферате статьи утверждается, что

В этой статье мы даем траекторию 3-мерных сеток в закрытом виде, определяя ширину их вершинных границ.

Однако точная граница не указана в аннотации, и в настоящее время я не могу получить доступ к полной статье. Возможно, вы можете связаться с авторами в частном порядке и опубликовать ответ на этот вопрос самостоятельно, если авторы готовы поделиться результатом.