Какие препятствия для расширения

Доказательство Омер Рейнгольда , что дает алгоритм USTCON (В U ndirected граф со специальными вершинами и , они Con подсоединены?) , Используя только logspace. Основная идея состоит в том, чтобы построить график расширителя из исходного графика, а затем выполнить обход в графике расширителя. График экспандера составляется путем возведения в квадрат исходного графика логарифмически много раз. На графике расширителя диаметр является только логарифмическим, поэтому достаточно выполнить поиск по логарифмической глубине в DFS. $L=SL$ $s$ $t$

Расширение результата до подразумевало бы существование алгоритма логического пространства для DSTCON - то же самое, но для D- ориентированных графов. (Иногда просто STCON.) Мой вопрос, может быть, немного мягкий, каковы основные препятствия для распространения доказательства Рейнгольда на это? $L=NL$

Чувствуется, что должен быть своего рода график «направленного экспандера». Аналогичная конструкция, в которой вы добавляете ребра, соответствующие направленным путям средней длины, а затем некоторые, соответствующие длинным; и затем вы можете перемещаться по графику с логарифмической глубиной, перемещаясь по коротким путям, чтобы добраться до длинных; затем вернемся к коротким путям в конце.

Есть ли главный недостаток в этой концепции? Или нет хороших конструкций таких расширителей? Или это как-то требует больше памяти, чем ненаправленная версия?

Я, к сожалению, не могу найти много на графиках направленного расширителя. Фактически все, что я мог найти, было /math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution (что остается без ответа) и https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers . Есть ли другой термин, под которым я должен искать?

— Алекс Мейбург
источник

Эта статья дает некоторое представление о расширении

до

: people.seas.harvard.edu/~salil/research/regular-abs.html

L = S L

$L=SL$

L = R L

$L=RL$

— sdcvvc

Смотрите пункт 3. здесь . Вы можете возразить, что это полная спекуляция, но обратите внимание, что в ответ Скотта в основном говорится то же самое о случайном исследовании ориентированных графов.

— Томас Климпел

Центральная проблема заключается в том, что на ориентированных графах даже действительно случайное блуждание не попадает во все вершины в ожидаемое полиномиальное время, не говоря уже о псевдослучайном блуждании. Стандартный контрпример здесь представляет собой ориентированный граф с вершинами, упорядоченными слева направо, где каждая вершина имеет ребро, ведущее к вершине справа (за исключением самой правой вершины ), и каждая вершина также имеет ребро, ведущее все обратный путь к самой левой вершине, . Чтобы добраться от до случайным блужданием, нужно ~ времени. Итак, что же представляет собой рандомизированный алгоритм малого пространства для направленной связи, который мы надеемся дерандомизировать, аналогично тому, что сделал Рейнгольд для $n$ $t$ $s$ $s$ $t$ $2^n$ ? (Другими словами, как мы показываем , не говоря уже о ?). Для направленной связности, конечно, есть алгоритм Савича, но для этого требуетсяпространство , а для общих графов никому не удавалось улучшить его за полвека, с использованием случайности или без нее. $USTCON$ $RL=NL$ $L=NL$ $O(\log^2 n)$

— Скотт Ааронсон
источник

Пример алгоритма, который я бы описал, был бы, примерно - ну, вы запускаете операцию Рейнгольда «квадрат и зигзаг» несколько раз, чтобы начать. Я предполагаю, что модификация состояла бы в том, что вместо квадрата, содержащего только пути длины 2 в исходном графе, он включает пути длины 1 и 2. Попробуйте все логарифмически глубокие последовательности, например, его. Если мы нумеруем вершины вашего графа как 1, 2, .. n, то первый «квадрат» графа соединяет 1 к 2 и 3, следующий «квадрат» соединяет его с 2345 и т. Д. Зигзагообразные шаги сохраняют градусы низкий. Очевидно грубый, но я не вижу, почему это терпит неудачу.

— Алекс Мейбург

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\log n

$\log n$