Параметризованная сложность включения обычных языков

Меня интересует классическая проблема РЕГУЛЯРНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ЯЗЫКА. Для регулярного выражения обозначим через L ( E ) связанный с ним регулярный язык. (Регулярные выражения на фиксированном алфавите Σ с объединением операций, звездой Клини и конкатенацией.)$E$$L(E)$$\Sigma$

Входные данные: два регулярных выражения и E 2 Вопрос: Верно ли, что L ( E 1 ) ⊆ L ( E 2 ) ?$E_1$$E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

Известно, что РЕГУЛЯРНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ЯЗЫКА является PSPACE-полным [1].

Классический способ ее решения (в PSPACE) состоит в том, чтобы создать NFA и A 2, связанные с E 1 и E 2 , построить DFA D 2 из A 2 , дополнить его в DFA D C 2 и, наконец, построить автомат пересечения A P из A 1 и D C 2, соответствующий пересечению L ( E 1 ) и L ( E 2 ) $A_1$$A_2$$E_1$$E_2$$D_2$$A_2$$D_2^C$$A_P$$A_1$$D_2^C$$L(E_1)$$L(E_2)^C$, Теперь тогда и только тогда, когда в A P нет принимающего пути .$L(E_1)\subseteq L(E_2)$$A_P$

Если я не ошибаюсь, весь процесс может быть выполнен за полиномиальное время, когда является фиксированным языком, поскольку единственное экспоненциальное увеличение происходит от преобразования A 2 в D 2 . Еще лучше проблема заключается в FPT при параметризации | Е 2 | длина Е 2 .$E_2$$A_2$$D_2$$|E_2|$$E_2$

Это мотивирует мой вопрос:

Вопрос: Когда является фиксированным выражением, какова сложность REGULAR LANGUAGE INCLUSION? Это остается PSPACE-полным?$E_1$

[1] Л.Дж. Стокмейер и А.Р. Мейер. Проблемы со словами, требующие экспоненциального времени: предварительный отчет. Материалы пятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений, STOC '73, стр. 1-9.

Замечание: будучи не экспертом в этой области, я нахожу [1] (и связанные с ним статьи того времени) совершенно нечитабельным и не смог найти другого доказательства полноты PSPACE - любого указателя на современное доказательство, такого как в книга, очень приветствуется! Кроме того, авторы, кажется, допускают возведение в квадрат в своих регулярных выражениях, что, на мой взгляд, в настоящее время довольно нестандартно.)

Частный случай универсальности языка (все ли слова приняты?) Является PSPACE-полным для регулярных выражений или NFA. Он отвечает на ваш вопрос: в общем случае задача остается PSPACE-полной даже для фиксированного , поскольку универсальность языка соответствует E 1 = Σ ∗ .$E_1$$E_1=\Sigma^*$

Действительно трудно найти современное удобочитаемое доказательство твердости PSPACE для универсальности регулярных выражений, поскольку теперь это считается фольклором. Вот схема быстрого доказательства, которая позволяет перестроить доказательство:

---

Рассмотрим машину Тьюринга на алфавите Е с использованием полиномиального пространства р ( п ) , и пусть W ∈ Е * входное слово для M . Мы построим регулярное выражение e, которое принимает все слова в том и только в том случае, если M не принимает прогон на w .$M$$\Sigma$$p(n)$$w\in\Sigma^*$$M$$e$$M$$w$

Рассмотрим язык состоящий из слов вида $ C 0 $ C 1 $ … $ C f $ , где каждый C i является конфигурацией M длины ровно p ( n ) , C 0 является начальной конфигурацией с w на лента, С F принимает, и каждый из С я → С я + 1 является допустимым переход М . Слово в $L_M$$\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$$C_i$$M$$p(n)$$C_0$$w$$C_f$$C_i\to C_{i+1}$$M$ описывает принимающую пробег M .$L_M$$M$

Мы строим на алфавите Х ' = Е ∪ { $ } такие , что е принимает именно те слова, которые не в L M , посмотрев за нарушение определения L M . Выражение e будет большой дизъюнкцией e 1 + e 2 + ⋯ + e k , где каждый e i ищет различный вид нарушения. Например, e 1 = ( Σ ′ ) ∗$e$$\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$$e$$L_M$$L_M$$e$$e_1+e_2+\dots+e_k$$e_i$ ищет нарушение того факта, что каждый C i имеет размер ровно p ( n ) . Самая сложная часть - угадать нарушение между C i и C i + 1 : выражение может сравнивать локальный шаблон в C i и его изображение в C i + 1 , используя

$$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$$ $C_i$$p(n)$$C_i$$C_{i+1}$$C_i$$C_{i+1}$ , где t и t ′ - выражения для локальных шаблонов. При этом мы можем угадать нарушение функции перехода M на локальном шаблоне или нарушение тождества вне этого шаблона. В конце концов, мы получаемчто L ( е ) ≠ ( Σ ' ) *  тогда и только тогда , когда  L M ≠ ∅  тогда и только тогда , когда  M  принимает $t(\Sigma')^{p(n)}t'$$t$$t'$$M$ $$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$$ поэтому мы сводили (полиномиально) произвольную задачу PSPACE к универсальности регулярного выражения. Я пропустил некоторые детали, но это должно позволить вам создать полное доказательство.

---

Конечно, как отметил Майкл Вехар в комментариях, для других проблема может стать проще. Классификация сложности этой проблемы широко изучалась в этой статье [1] на предмет эквивалентности, локализации и покрытия. Вы можете увидеть сводку результатов для проблемы эквивалентности в этом ответе (существуют NP-полные случаи).$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

[1] Об эквивалентности, содержании и проблемах покрытия для регулярных и контекстно-свободных языков Гарри Б. Хант, Даниэль Дж. Розенкранц, Томас Г. Шимански. Журнал компьютерных и системных наук. Том 12, выпуск 2, апрель 1976 года, страницы 222-268

[2] Проблема эквивалентности для регулярных выражений с возведением в квадрат требует экспоненциального пространства . Мейер, AR и Л. Стокмейер. 13-й симпозиум IEEE по теории коммутации и автоматов, октябрь 1972 г., с. 125–129.