Какова сложность этой проблемы графа?

Для простого неориентированного графа $G$ найдите подмножество $A\neq \emptyset$ вершин, такое что

для любой вершины хотя бы половина соседей также находится в , и $x\in A$ $x$ $A$
размер $A$ минимален.

То есть мы ищем кластер, в котором по крайней мере половина окрестности каждой внутренней вершины остается внутренней. Само существование такого кластера очевидно, поскольку все множество вершин $V(G)$ всегда обладает свойством 1. Но насколько сложно найти самый маленький (непустой) такой кластер?

Есть ли стандартное название для этой проблемы? Что известно о его сложности?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Андрас Фараго
источник

Кажется, вариант Удовлетворительной проблемы с разделами . Я не знаю, известен ли ваш вариант и был ли он NPC; но, вероятно, сработает сокращение от k-клики: свяжите каждый узел

исходного графа с

узлами

«внешней клики» размера

(каждый узел имеет свою внешнюю клику). Тогда вы можете найти нетривиальное множество

размера

тогда и только тогда, когда a

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique существует в исходном графе (вы должны выбрать хотя бы узел, но вы должны избегать любой внешней клики). Но это всего лишь идея; если у меня будет достаточно времени, я постараюсь проверить правильность сокращения.

— Марцио Де Биаси

@MarzioDeBiasi Спасибо, после некоторого поиска я обнаружил, что проблема удовлетворительного разбиения действительно связана. Однако в каждом варианте, который я мог найти, они ищут раздел, а не отдельный набор. Непонятно, как они связаны. В вашем сокращении, если я что-то не понял,

клик исходного графа не удовлетворяет определению, так как каждый узел в нем будет иметь

внутренних соседей, но по крайней мере

внешних соседей из-за добавленного внешнего клики.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Андрас Фараго

Я думаю, что эта проблема известна как «оборонительный альянс»

— Даниелло

@daniello: отлично, я искал в опросе IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, «Оборонительные альянсы на графиках: опрос», 2013, но не нашел слова «половина»; когда у меня будет достаточно времени, я внимательно прочитаю; вполне вероятно, что проблема ОП уже известна!

— Марцио Де Биаси

Кажется, это сформулировано как «каждая вершина имеет как минимум столько же соседей внутри, сколько снаружи», что совпадает с вопросом до округления, и, возможно, включает / не включает в себя саму вершину в подсчете

— Даниелло

Это сокращение от клики к вашей проблеме.

Начнем с экземпляром Clique: граф и целое число , пусть . $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

Клика остается NPC даже при условии, что (контрольный эскиз: если затем добавьте где $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ и соедините его со всеми узлами и попросите клику размером в новом графе). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

Таким образом , мы предполагаем , что в , . Для каждого узла для которого мы создаем «внешнюю» клику размера (каждый узел $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ $C_i$ clique has at least $2(k+1)$ neighbours).

If $deg(v_i)$ is the degree of $v_i$ , we connect $v_i$ to $2(k-1) - deg(v_i)$ nodes of $C_i$ .

В полученном каждый имеет степень ; так потому что должна быть выбрана хотя бы одна вершина. $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

Ясно, что если одна из вершин включена в то в нее также должны быть вставлены не менее узлов. Обратите внимание, что если исходный узел имеет то должен быть включен по крайней мере один узел связанного , что приводит к . $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

Таким образом, мы можем построить набор минимального размера тогда и только тогда, когда содержит клику размера . $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

Пример сокращения, в котором мы спрашиваем, содержит ли граф представленный желтыми узлами и полужирными ребрами, клику размером (треугольник). $G$ $k = 3$

Синие узлы (сгруппированные для лучшей читаемости) - это , красные края - это связи между узлами с . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
источник

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$ by construction, so if

A

$A$ contain one vertex, it must contain at least

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$ neighbours (and the same applies to all vertices of

A

$A$ ), so

| A | \geq k

$|A| \geq k$ . The "minimum size"

k

$k$ can be achieved only if

A

$A$ is a clique of size

k

$k$ .

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: I added another condition to the starting clique problem (but it should remains NPC) ... I'm still checking it (not entirerly convinced its correct).

— Marzio De Biasi

Yes, now it works perfectly (though it should be

k^{'}

$k'$ in the expression of

t

$t$ ). Maybe I shall delete my comments?

— Willard Zhan

@WillardZhan: I think it's correct, because in that paragraph I'm referring to the reduction from Clique [instance

(G, k)

$(G,k)$ ] to Clique+constraint

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ [instance

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$ ].

t

$t$ is the number of the nodes (clique) to add to G to get the new instance of Clique that stastisfies the constraint.

— Marzio De Biasi