Какова вероятность того, что случайная булева функция имеет тривиальную группу автоморфизмов?

Для булевой функции мы имеем группу автоморфизмов .$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Есть ли известные границы для ? Известно ли что-нибудь для величин вида для некоторой группы ?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Да. На ваш первый вопрос вероятность быстро падает до нуля в два раза. Это можно рассчитать следующим образом. Для каждой перестановки$\pi$мы можем ограничить вероятность того, что $\pi \in Aut(f)$то есть $f(\pi(x)) = f(x)$ для всех $x \in \{0,1\}^n$, Рассмотрим орбиты$\pi$ действующий на $\{0,1\}^n$, У нас есть это$\pi$ это автоморфизм $f$ тогда и только тогда $f$ постоянно на $\pi$-орбит. Если$\pi$ нетривиален, имеет хотя бы одну орбиту на $[n]$ это не одиночка, и поэтому по крайней мере на орбите $\{0,1\}^n$это не синглтон. Предположим, что орбита имеет$k$элементы в нем. Вероятность того, что$f$ постоянна на этой орбите, таким образом, точно $2^{-(k-1)}$, Предположим, что$\pi$ действующий на $[n]$ имеет $c_1$ фиксированные точки, $c_2$ циклы длины 2 и т. д. (в частности $\sum_{i=1}^n i c_i = n$). Тогда количество баллов$\{0,1\}^n$ фиксируется $\pi$ это точно $2^{\sum_i c_i}$, Все остальные точки$\{0,1\}^n$ находятся на нетривиальных орбитах $\pi$, Для верхней границы вероятности того, что$\pi \in Aut(f)$обратите внимание, что лучшая возможность, если все нефиксированные элементы $\{0,1\}^n$ прийти на орбитах размера 2. Таким образом, мы получаем, что $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ где $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$, Теперь мы хотим нижнюю границу$M$, что означает, что мы хотим верхнюю границу $\sum_i c_i$, поскольку$\pi \neq 1$, самый большой $\sum c_i$ может быть, когда $c_1 = n-2$ а также $c_2 = 1$т.е. $\sum c_i = n-1$ а также $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$, так $M \geq 2^{n-1}$ а также $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$, Теперь примените объединенное ограничение:$|S_n| = n!$, так $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$что в основном $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ в виде $n \to \infty$довольно быстро

Для любого данного $G \leq S_n$ Вы могли бы использовать аналогичные рассуждения, но вероятность также очень быстро упадет до нуля.