Важность разрыва целостности

У меня всегда были проблемы с пониманием важности разрыва целостности (IG) и ограничений на него. IG - это отношение (качества) оптимального целочисленного ответа к (качеству) оптимального реального решения релаксации задачи. Давайте рассмотрим покрытие вершин (VC) в качестве примера. VC можно сформулировать как поиск оптимального целочисленного решения следующего набора линейных уравнений:

Мы имеем ноль / один оцененные переменные с для каждой вершины графа . Уравнения: для и для каждого ребра . Мы ищем значения, которые минимизируют .$x_v$$v \in V(G)$$G$$0 \leq x_v \leq 1$$v\in V(G)$$1 \leq x_v+x_u$$uv \in E(G)$$\sum_{v \in V(G)} x_v$

Расслабление этой задачи допускает реальные значения от до поэтому пространство решений больше, и оптимальное реальное решение может быть меньше, чем оптимальное целочисленное решение, которое мы хотим найти. Поэтому нам нужно выполнить процесс «округления» оптимального реального ответа, полученного из линейного программирования, чтобы найти целочисленное решение. Оптимальное целочисленное решение будет находиться между оптимальным реальным решением и результатом процесса округления. IG - это отношение оптимального целочисленного решения к оптимальному вещественному решению и ничего не говорит о процессе округления. Процесс округления может (в теории) полностью игнорировать реальное решение и напрямую вычислять оптимальное целочисленное решение.$0$$1$

Почему люди заинтересованы в доказательстве границ IG?

Пробелы в интегральности по существу представляют собой пределы, присущие конкретной линейной или выпуклой релаксации в приближении целочисленной программы. Как правило, если разрыв интегральности конкретной релаксации равен , то любой алгоритм аппроксимации, основанный на этой релаксации, не может надеяться на лучшее, чем -аппроксимация. Поэтому, по крайней мере, пробелы в интегральности представляют интерес для разработчиков алгоритмов, поскольку они предполагают ограничения в определенных методах. $x$$x$

Так почему бы просто не придумать другое расслабление LP или переключиться на другие техники и двигаться дальше? Линейное и выпуклое программирование оказались центральными для алгоритмов аппроксимации; для многих задач разрыв интегральности естественной формулировки LP или SDP равен как коэффициенту аппроксимации лучшего алгоритма, так и коэффициенту твердости аппроксимации. Это просто эмпирическое наблюдение, но оно означает, что доказательство разрыва в интегральности может предполагать гораздо более сильные последствия улучшенного алгоритма или нижней границы.

Там могут быть более глубокие и более строгие причины этого явления. Например, принимая гипотезу об уникальных играх, известно, что коэффициент аппроксимации и коэффициент недопустимости для задач удовлетворения ограничений равен разрыву интегральности простой релаксации SDP (см. « Оптимальные алгоритмы и результаты недопустимости для каждого CSP » Прасада Рагхавендры)

Наконец, пробелы в интегральности представляют безусловные нижние оценки. Обычно нам нужно полагаться на недоказанные предположения (например, ), если мы хотим добиться какого-либо прогресса в нижних границах, но для ограниченных моделей вычислений мы иногда можем обойтись без него (см. Лекционные заметки Луки Тревизана). Разрывы в интегральности, будучи скорее геометрическими, чем вычислительными, являются одним из способов получения достаточно мощных нижних границ без багажа дополнительных предположений.$P \neq NP$

Предположим , что ваша проблема интерес представляет задача минимизации и что вы разработали -approximate алгоритм. Если на заданном входном сигнале ваш алгоритм выводит решение стоимости , то вычисление алгоритма плюс его анализ дают сертификат, который на этом входном сигнале оптимален по крайней мере . Очевидно, что , по крайней мере оптимальной, так что для каждого входа , мы можем удостоверить нижней границу к оптимуму , который является по меньшей мере, частью самого оптимальным.c a / c a 1 /$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

Мне известно, что во всех алгоритмах, основанных на выпуклых релаксациях (LP и SDP), сертифицированная нижняя граница для оптимума определяется оптимумом релаксации. Если релаксация имеет разрыв в интегральности , то не удастся достичь коэффициента аппроксимации лучше, чем , если только в анализе не будет введен метод нижней границы для оптимума, который сильнее нижней границы, обеспечиваемой релаксацией.$I$$I$

Разрыв в интегральности является полезным показателем того, насколько хорошо IP может быть аппроксимирован. Возможно, лучше думать об этом неформально, интуитивно. Большой разрыв целостности подразумевает, что определенные методы не будут работать. Например, некоторые первичные / двойственные методы зависят от небольшого разрыва в интегральности. Для стандартной первичной крышки Vertex LP двойной LP запрашивает максимальное совпадение. В этом случае мы можем сделать следующее:

• найти оптимальное дробное решение для двойного LP (максимальное дробное совпадение)$\boldsymbol{y}$
• умножить решение в 2 раза (удвоить все веса ребер)$\boldsymbol{y}$
• преобразовать это в допустимый интеграл для первичного LP (каждое ребро дает половину своего веса от вектора каждому из своих конечных точек в векторе , тогда каждый равен заменено на ).$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

В этом случае эта простая стратегия работает, и мы в итоге получаем выполнимое интегральное решение первичного LP, вес которого не более чем в два раза превышает вес выполнимого решения для двойного LP. Поскольку вес допустимого решения для двойного LP является нижней границей для OPT, это алгоритм 2-аппроксимации.

Теперь, где возникает разрыв целостности? В этом случае IG равен 2, но это само по себе не означает, что алгоритм будет работать. Скорее, это говорит о том, что это может работать. И если бы IG было больше 2, это гарантировало бы, что простая стратегия не всегда будет работать. По крайней мере, мы должны были бы умножить двойное решение на IG. Таким образом, разрыв в целостности иногда говорит нам, что не будет работать. Разрыв в интегральности также может указывать, на какой коэффициент аппроксимации мы можем надеяться. Небольшой разрыв в интегральности говорит о том, что исследование стратегий округления и т. Д. Может оказаться целесообразным подходом.

В качестве более интересного примера рассмотрим задачу «Ударное множество» и мощный метод аппроксимации задачи с помощью -nets (Brönnimann & Goodrich, 1995) . Многие проблемы могут быть сформулированы как экземпляры набора ударов, и стратегия, которая была успешной для многих проблем, состоит в том, чтобы сделать это, а затем просто найти хороший сетевой искатель, т. Е. Алгоритм для построения маленьких сетей, и проверять все через мета-алгоритм B & G. Поэтому люди (включая меня) пытаются найти сетевые искатели для ограниченных экземпляров Hitting Set, которые для любого могут создать -net размера , где функция$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$должно быть как можно меньше. Наличие является типичной целью; это дало бы -приближение.$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

Как выясняется, наилучшая возможная функция ограничена зазором интегральности некоторого ЛП для ударного множества (Even, Rawitz, Shahar, 2005) . В частности, оптимальные интегральные и дробные решения удовлетворяют . Для неограниченных экземпляров Ударяющего множества разрыв целостности равен , но при формулировании другой проблемы как Ударяющего множества IG может быть ниже. В этом примере авторы показывают, как найти -net размера$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$для ограниченных экземпляров набора ударов, которые соответствуют задаче попадания параллельных осям блоков. Таким образом, они улучшают наиболее известный коэффициент аппроксимации для этой задачи. Это открытая проблема, может ли это быть улучшено. Если для этих ограниченных экземпляров набора совпадений IG для набора совпадений LP является , было бы невозможно разработать net finder, гарантирующий -nets размера , поскольку это подразумевает существование алгоритма, который гарантирует целочисленные наборы ударов размером , но так как$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$это означало бы меньший разрыв целостности. Таким образом, если разрыв в интегральности велик, доказательство этого может помешать людям тратить свое время на поиск хороших сетевых искателей.

Когда вы подходите с алгоритмом аппроксимации для некоторой задачи максимизации NP-hard, вы можете позаботиться о нескольких значениях: есть OPT, оптимальное значение вашей задачи, такое же, как OPT (IP), оптимальное ценность любой правильной формулировки IP вашей проблемы. Существует также OPT (LP), оптимальное значение линейной релаксации вашего IP.

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

Наконец, есть V, значение решения, которое вы в итоге получите, округлив решение LP. Вы хотели бы иметь возможность доказать, что чтобы показать, что ваш алгоритм является приближением , но зачастую это невозможно сделать напрямую, поскольку у вас нет держать на месте решения. Вместо этого почти всегда доказывается, что . Это, конечно, подразумевает , но сильнее. В частности, если разрыв в интегральности вашей формулировки IP больше, чем , приведенное выше утверждение будет в целом неверным, поскольку ваша процедура округления заканчивается интегральным решением.$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

Итак, суть заключается в следующем: LP дает вам решение, которое, как вы знаете, «хорошее», и вы хотите округлить его до чего-то «почти такого же хорошего». Если разрыв в интегральности велик, это вообще невозможно, так как никогда не будет процедуры, которая гарантированно получит интегральное решение, которое «примерно так же хорошо», как и решение LP - потому что иногда их не существует!

Вы правы в том, что разрыв интегральности релаксации как таковой не имеет ничего общего с любым алгоритмом округления. Это два разных понятия. Разрыв в интегральности является свойством определенной релаксации. То есть насколько больше значение этой релаксации по сравнению с оптимальным интегральным значением?

Почему мы заботимся о линейных / выпуклых релаксациях? Эффективно аппроксимировать интегральное значение. Следовательно, мы обычно говорим о релаксациях только в тех случаях, когда оптимальное значение трудно вычислить, и мы заинтересованы в эффективных приближениях. Пробелы в целостности показывают нам присущие ограничения того, что может быть достигнуто такими методами.

Итак, почему мы заботимся о алгоритмах округления поверх релаксации? Мы используем алгоритмы округления для решения алгоритмической задачи нахождения почти оптимального решения, а не просто аппроксимации значения оптимального решения. Кроме того, часто используются алгоритмы округления, чтобы ограничить разрыв интегральности релаксации в первую очередь.

Технически, разрыв в интегральности предназначен для конкретной формулировки IP, а не (как вы ее сформулировали) соотношения между наилучшей линейной релаксацией и оптимальным решением (которое, по-видимому, количественно определяется по ВСЕМ формулировкам IP).

Интервал целостности важен, потому что он показывает пределы конкретной используемой композиции LP. Если я знаю, что это конкретное ослабление имеет пробел в интегральности , то я также знаю, что если я когда-нибудь надеюсь доказать границу лучше, чем , мне нужно будет использовать другую формулировку.$c$$c$

Была опубликована очень интересная статья «О преимуществах сетевого кодирования для улучшения пропускной способности сети», которая показала, что разрыв в интегральности «двунаправленного ослабления разреза» для задачи дерева Штейнера в точности равен типу «преимущества кодирования» в сетевой коммуникации. Я не знаю много других подобных работ. Тем не менее, следует также отметить, что, казалось бы, лучшие релаксации ЛП для задачи дерева Штейнера известны (например, см. Новый алгоритм аппроксимации на основе гиперпространства на основе ЛП Бирки и др. В STOC 2010, я также бесстыдно заявляю, что соавтором некоторых недавних работ по изучению гиперграфии LP).

В большинстве ответов уже рассмотрена основная причина заботы о разрыве интегральности, а именно то, что алгоритм аппроксимации, основанный исключительно на использовании границы, обеспечиваемой релаксацией, не может надеяться доказать соотношение лучше, чем разрыв интегральности. Позвольте мне привести две другие мета причины, по которым разрыв в интегральности является полезным руководством. Для большого класса комбинаторных задач оптимизации эквивалентность разделения и оптимизации показывает, что точные алгоритмы тесно связаны с выпуклой оболочкой возможных решений задачи. Таким образом, геометрическая и алгоритмическая перспектива очень тесно связаны друг с другом. Подобная формальная эквивалентность неизвестна для алгоритмов аппроксимации, но это полезное руководство - алгоритмы идут рука об руку с геометрическими релаксациями. Алгоритмические инновации происходят, когда у людей есть конкретная цель для улучшения.