Сложность общения ... Классы?

Обсуждение :

В последнее время я проводил некоторое личное время, изучая различные вещи в сложности общения. Например, я повторно ознакомился с соответствующей главой в Арора / Барак, начал читать некоторые статьи и заказал книгу Кушилевица / Нисана. Интуитивно я хочу сравнить сложность коммуникации с вычислительной сложностью. И, в частности, меня поразил тот факт, что вычислительная сложность превратилась в богатую теорию размещения вычислительных задач в классы сложности, некоторые из которых, в свою очередь ( по крайней мере, с одной точки зрения ) можно представить в терминах полных задач для каждый данный класс. Например, при первом объяснении кому-то трудно избежать сравнений с SAT или какой-либо другой NP-полной проблемой.$NP$

Для сравнения, я никогда не слышал ничего подобного о классах сложности общения. Мне известно много примеров проблем, «полных для теоремы». Например, в качестве общей основы авторы могут описать данную проблему связи а затем доказать, что соответствующая теорема имеет место, проблема связи может быть решена в или менее битах (для некоторого который зависит от конкретной теоремы / проблемы). рассматриваемая пара). Терминология , используемая в литературе , то в том , что является «полной» для .T i f f X X P $P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Кроме того, в черновом проекте главы Arora / Barak (который, кажется, был удален / изменен в окончательной печати) есть , в которой говорится: «В общем, протоколы связи можно рассматривать как , , и т. Д. " Тем не менее, я заметил два важных упущения:c o N P P $NP$$coNP$$PH$

1. «Аналогичная» концепция, по-видимому, является способом вычисления сложности связи для решения данного протокола с доступом к различным типам ресурсов, но не может определить правильные классы сложности связи ...
2. Большая часть сложности коммуникации кажется относительно «низкоуровневой», в том смысле, что подавляющее большинство результатов / теорем / и т. Д. вращаются вокруг маленьких, определенных значений полиномиального размера. Это несколько поднимает вопрос о том, почему, скажем, интересен для вычислений, но аналогичная концепция представляется менее интересной для общения. (Конечно, я мог быть просто виноват в том, что просто не знал о понятиях сложности коммуникации "более высокого уровня".) $NEXP$

Вопрос (ы) :

Существует ли аналогичная концепция для классов вычислительной сложности для сложности коммуникации?

И:

Если да, то как это соотносится со «стандартным» понятием классов сложности? (например, существуют ли естественные ограничения для «классов сложности связи», которые заставляют их по своей природе не соответствовать всему диапазону классов сложности вычислений?) Если нет, то в чем причина «большой картины», что классы представляют собой интересный формализм для сложности вычислений, но не для сложности общения?

Похоже, что вы ищете эту статью: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

Классы сложности в сложности общения были введены Бабаем, Франком и Саймоном в статье, цитируемой Ноамом. В статье также развивается идея полноты при подходящих сокращениях. Например, если вы описываете классы NP и co-NP, то имеет смысл описать и проблему (несопоставимость завершена) проблемы дизъюнктивности.

Что касается ваших вторых вопросов, если P (по сложности связи) является классом задач, решаемых с помощью связи polylog (n), то класс EXP должен представлять собой набор задач, решаемых с помощью связи poly (n), что просто является всем. Так что, похоже, такие занятия не интересны.

Однако есть еще один способ получить более крупные классы. Уже PSPACE определяется (Бабаи и др.) Не с точки зрения некоторого понятия пространства, а с точки зрения чередования. Интерактивные доказательства - еще один способ получить классы большой сложности. Таким образом, вы можете определить класс MIP как набор проблем, которые могут быть решены в коммуникационной игре с двумя проверяющими (которые не могут общаться друг с другом) и двумя проверяющими (которые могут общаться друг с другом и с проверяющими).

В мире машин Тьюринга MIP = NEXP, но как насчет сложности связи (где NEXP, кажется, не имеет смысла)? Прежде всего, MIP - это не просто набор всех проблем из-за простого аргумента подсчета.

Эндрю Друкер (в своей магистерской диссертации) показал кое-что интересное об этом классе. Он считает PCP сложностью связи, которая (по стандартным методикам) эквивалентна протоколам MIP (его результат немного сильнее, чем то, что я здесь заявляю).

Он показывает, что для каждой проблемы в NP (класс машины Тьюринга) и любого способа разделения входных данных возникающая в результате проблема связи имеет протокол MIP с полилогом связи (n) (то есть проблема в (сложность связи) класс МИП).

Таким образом, хотя MIP - это еще не все, найти явную проблему, которой нет в MIP, должно быть сложно (не потому, что мы не можем найти проблемы, которых нет в NP, а потому, что нелегко представить, как может возникнуть сложность машины Тьюринга. ).

То, что показывать нижние границы для MIP сложно, может быть не слишком удивительным, потому что мы даже не знаем, как доказать нижние границы для протоколов AM.

Раздел Сложность зоопарка перечислены наиболее важные классы коммуникационной сложности.

Фундаментальная причина, по которой существуют такие ограничения на сложность связи, заключается в том, что существует только линейный объем всей информации, которая должна быть передана (входные данные). Хотя Хартмут Клаук уже по существу указал на это в своем ответе, я хотел бы выделить ответ на другой OQ относительно основной причины этого фундаментального ограничения, а именно, что игроки не ограничены в вычислительном отношении .

Если кто-то хотел бы рассмотреть «более высокие» классы общения, то естественная вещь, на которую следует обратить внимание (вместо этого), - это сложность общения / вычислительной сложности, о которой люди точно знают и изучали в различных формах, но я думаю, что на самом деле это не так. систематически изучается. Например, при изучении интерактивных доказательств обычно учитывают влияние вычислительных ограничений игроков, хотя и не так часто, чтобы учитывать общее количество передаваемых битов. Последнее чаще встречается при изучении PCP, где, например, для PCP с поли-размером, требующим запросов, требуется только бит для передачи. КогдаO ( d ( n ) log n ) d ( n ) = O ( 1 $d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$Я думаю, что обратное утверждение также по существу верно, так что сложность запросов в PCP тесно связана с этой проблемой комбинированной коммуникации / вычислительной сложности.