Является ли задача о половинном магическом квадрате NP-полной?

Вот проблема:

У нас есть квадрат с несколькими числами от 1..N в некоторых ячейках. Нужно определить, можно ли его завершить до магического квадрата.

Примеры:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

Эта проблема NP-полная? Если да, как я могу это доказать?

Кросспост на MS

Заполнение частично заполненного латинского квадрата является NP-Complete. «Сложность заполнения неполных латинских квадратов» Чарльз Дж. Колборн. Дискретная прикладная математика, том 8, выпуск 1, апрель 1984 года, страницы 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

Можно ли превратить проблему латинского квадрата в проблему магического квадрата с помощью модульной арифметики? Моя интуиция говорит, что да, но остальная часть моего мозга говорит: «Вернись к оценке!»

Этот вопрос состоит из двух частей: во-первых, проблема в NP, и во-вторых, сложность в NP?

Для первой части у меня есть положительный ответ с неочевидным доказательством. (Спасибо Сурешу за указание на более раннюю ошибку.)

Рассмотрим следующий способ формализации вопроса как решения проблемы:

НЕОГРАНИЧЕННОЕ ЗАВЕРШЕНИЕ ВОЛШЕБНОГО КВАДРАТА
Входные данные: положительное целое число заданное в унарном порядке, список целых чисел с их позициями в сетке n на n Вопрос: существуют ли целые числа для оставшихся позиций в сетке, так что расположение образует магический квадрат ?$n$$n$$n$

Если мы добавим ограничение, что каждое из целых чисел должно произойти ровно один раз в магическом квадрате, то результирующая проблема решения MAGIC SQUARE COMPLETION, очевидно, находится в NP. Определение магического квадрата в 1911 Британской энциклопедии , после Эйлера , имеет это ограничение; в отличие от этого, статья в Википедии в настоящее время использует терминологию «нормальный магический квадрат» и резервирует «магический квадрат» для неограниченной версии.$1,2,\dots,n^2$

С по п сетке, по крайней мере , п число должно быть задано, в противном случае ответ тривиальный «YES» для неограниченной версии. Следовательно, можно предположить, что в этом случае размер входных данных требует более n бит. Для нормальной версии возможно, что есть входы, которые требуют нескольких битов, но не имеют решения; Чтобы избежать таких осложнений, я указал, что n дано в одинарном.$n$$n$$n$$n$$n$

Аргумент использует ограничение на возможный размер целых чисел, которые появляются в решениях. В нормальном случае эта оценка, очевидно, равна , но в общем случае априори не очевидно, что такая граница существует. Оказывается, существует экспоненциальная оценка.$n^2$

Теорема ( Tyszka, теорема 12 ): любая система диофантовых уравнений, включающая уравнения вида и x i = x j + x k , для i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } , либо не имеет целочисленного решения или имеет решение, в котором каждый x i является целым числом и не более $x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$по абсолютной величине.$\sqrt{5}^{n-1}$

Это также появилось как теорема 4.7 в:

• Apoloniusz Tyszka, Две гипотезы об арифметике в R и C , Math. Журнал. Quart. 56 175–184, 2010.

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

Это дает следующее:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

Используя ограничение Пападимитриу на решения экземпляра INTEGER LINEAR PROGRAMMING, можно также показать, что версия, где все числа должны быть неотрицательными, также есть в NP.

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$, Тогда если$Ax = b$ имеет решение в неотрицательных целых числах, оно также имеет решение, в котором каждый компонент находится в $\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$,

Ограничения, образующие магический квадрат, могут быть выражены в виде линейной программы с использованием $a=1$, с $s=n^2+1$ переменные и $r=2n+2$неравенства. Это дает несколько большую границу, чем граница выше, где допустимы отрицательные числа, но сертификат по-прежнему имеет полиномиальный размер. (Спасибо Тони Тану за указание на результат Пападимитриу.)

• Христос Х. Пападимитриу, О сложности целочисленного программирования , JACM 28 765–768, 1981. ( ссылка )