Является ли этот многогранник «упаковки подгрупп» интегральным?

Пусть - конечная абелева группа, а - многогранник в определенный как точки удовлетворяющие следующим неравенствам: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \underset{г \in г}{Σ} {Икс}_{г} \leq | г | & \forall г \leq Γ \\ {Икс}_{г} \geq 0 & \forall г \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

где означает, что является подгруппой . Является ли целым? Если да, можем ли мы охарактеризовать его вершины? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

Мой вопрос изначально возник с , где несколько небольших примеров ( ) предполагают, что ответ «да» и «возможно, но это не просто». Я также попробовал циклическую группу на 9 и 10 элементах, а также , где снова многогранник является целым. Многогранник не является целочисленным, когда является любым из , и , поэтому абелевость, по-видимому, необходима. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Я должен отметить, что если вы напишите первый набор уравнений как , то не обязательно будет полностью унимодулярным (что подразумевает, что многогранник является целым). Когда , вы можете выбрать три линейно независимых и взять три , натянутые на каждую пару выбранных элементов . Результирующая подматрица равна точностью до перестановки, поэтому имеет определитель . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

Легко (если утомительно) охарактеризовать вершины для групп простого порядка и заметить, что они целочисленные. Я почти уверен, что это можно распространить на циклические группы с порядком первичной власти. Я не уверен, что происходит при приеме продуктов.

Эта система очень напоминает те, которые определяют полиматроиды , но вместо функции субмодульного набора ограничения являются «функцией подгруппы», которая, как я подозреваю, является «субмодульной», когда она определена правильно. Тем не менее, методы для показа определенных полиматроидов являются неотъемлемой частью здесь, но я не понимаю, как это сделать.

Кроме того, анализ Фурье может быть уместным: когда , кажется, что вершины, максимизирующие являются точно точкой с для всех , а также с где - это символ Фурье (в соответствии со стандартными обозначениями из анализа булевых функций), а непусто. (Когда пусто, соответствующей точкой является , которая также является вершиной.) $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Эндрю Морган
источник

Действительно интересный вопрос! В случае вы могли бы получить некоторое преимущество от анализа, отметив, что группа автоморфизмов действует транзитивно на неединичных элементах (фактически в некотором смысле «n-транзитивно»). ", в том, что он отправляет любой n-кортеж из линейно независимых групповых элементов в любой другой такой n-кортеж). Чтобы начать, вы можете предположить WLOG, что является наибольшим среди неидентичных элементов, а является вторым по величине ...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— Джошуа

@ JoshuaGrochow Спасибо! Я не уверен, что сортировка координат - это путь, но симметрии почти всегда полезны. Другое место, где их можно использовать, это ограничения: в конце концов, автоморфизмы посылают подгруппы в подгруппы. Что-то, что кажется полезным, для любой точки - усреднение по всем автоморфизмам, фиксирующим множество ограничений в . Я не знаю, как сделать это количество управляемым, хотя.

x

$x$

x

$x$

— Эндрю Морган

Да, это очень интересный и любопытный вопрос. (Если вы не против поделиться) Была ли мотивация смотреть на эти конкретные многогранники? Или просто что-то, на что случайно наткнулся?

— Джон

@JohnMachacek Я пытался охарактеризовать распределения на которые возникают из-за выбора линейного подпространства из произвольного распределения и затем случайным образом равномерно выбирая элемент подпространства. Это может быть выражено в виде накрывающего LP, двойник которого имеет вышеуказанный многогранник в качестве допустимой области. Тот факт, что он оказался неотъемлемой частью таких интересных обстоятельств, казался слишком интересным, чтобы не поделиться им с tcs.se.

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— Эндрю Морган

@AndrewMorgan Почему многогранник естественный или полезный? Координаты

только размер захвата

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— T ....

Эндрю (спрашивающий) и я обсуждали это по электронной почте, и мы показали, что гипотеза неверна. Многогранник не является целым для абелевых групп, даже для циклических групп.

С положительной стороны.

Теорема . Для циклических групп с порядком , где и - простые числа, а , матрица инцидентности элементов и подгрупп вполне унимодулярна. $p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Это потому, что семейство подгрупп представляет собой объединение двух ламинарных семейств.

Следовательно, это показывает, что наименьший контрпример для циклических групп должен иметь порядок не менее . Это фактически объясняет, почему не был найден маленький контрпример. $2\times 3\times 5 =30$

Эндрю провел несколько вычислений и нашел контрпример для циклической группы порядка . $30$

Контрпример : , $x_0=1/2$ , $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ , $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ , ивезде. Нетрудно проверить, возможно ли это. Здесь я перефразирую доказательство Эндрю, что это на самом деле вершина. Естьжестких ограничений. Ограничение всей группы, три подгруппы, порожденныеисоответственно, и ограничения неотрицательности. Поскольку у нас естьпеременных,является вершиной. $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Чао Сюй
источник