Любое вычислимое трансцендентное число, которое вычислимо за время P, но не

Есть ли какое-нибудь известное вычислимое трансцендентное число такое, что его $n$Эта цифра вычисляется за полиномиальное время, но не в $O(n)$?

Вот конструкция такого числа. Вы можете поспорить, означает ли это, что такое число "известно".

Возьми любую функцию $f$ от $\mathbb{N}$ в $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ где $n$эта цифра не вычисляется в $O(n)$время. Такая функция существует, например, с помощью обычной техники диагонализации. истолковывать$f(n)$ как $n$десятичная цифра некоторого вещественного числа $\alpha$, Теперь для каждого$n$ формы $2^{2^k}$, $k \geq 1$измените цифры $\alpha$ в позициях $n, n+1, \ldots, 3n$ в $0$«S. Полученное число$\beta$ очевидно, сохраняет свойство, которое $n$эта цифра не вычисляется в $O(n)$ время, но имеет бесконечно много очень хороших приближений рациональными, скажем, на заказ $O(q^{-3})$в форме $p/q$, Тогда по теореме Рота$\beta$не может быть алгебраическим. (Это не рационально, потому что оно имеет сколь угодно длинные блоки$0$Выделено ненулевыми значениями с обеих сторон.)

В целом, для любой постоянной $k\ge1$есть трансцендентные числа, вычисляемые за полиномиальное время, но не во времени $O(n^k)$,

Во-первых, по теореме иерархии времени существует язык $L_0\in\mathrm E$ не вычисляется во времени $O(2^{kn})$, Мы можем предположить$L\subseteq\{0,1\}^*$и мы также можем предположить, что все строки $w\in L$ иметь длину, кратную $3$,

Во-вторых, пусть $L_1$ быть унарной версией $L_0$, Для определенности, для любого$w\in\{0,1\}^*$, позволять $N(w)$ обозначает целое число, двоичное представление которого $1w$, и положи $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$, затем$L_1\in\mathrm P$, но $L_1$ не вычисляется во времени $O(n^k)$, Более того,$L_1$ имеет следующее свойство: для любого $m$, $L_1$ не содержит никаких $a^n$ такой, что $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$,

В-третьих, пусть

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (Я предполагаю, что здесь речь идет о вычислении чисел в двоичном формате. Если нет, то $2$ выше можно заменить на любую нужную базу, это не важно.)

затем $\alpha$ вычисляется за полиномиальное время, так как мы можем вычислить его $n$ биты, проверяя, $a,a^2,\dots,a^n$ находятся в $L_1$, По той же причине, это не вычисляется во времени$O(n^k)$как $n$-ый бит определяет $a^n\in L_1$,

Для любой $m$, позволять

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ а также $q=2^{2^{3m+1}}$, затем $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ Таким образом, $\alpha$ имеет меру иррациональности как минимум $4$следовательно, он является трансцендентным по теореме Рота .