Сложность гомогенизации строки

Мотивация : Разрабатывая инструменты для управления версиями данных, мы в конечном итоге изучили алгоритмы «различий» двух наборов целых чисел, предложив последовательность преобразований, которые переводят один набор целых чисел в другой. Мы смогли свести эту проблему к следующей очень естественной проблеме, которая, кажется, имеет соединения для редактирования расстояния, группировки путем замены и минимального общего строкового раздела .

Проблема : Нам дана строка, то есть последовательность букв, и наша цель состоит в том, чтобы гомогенизировать ее с минимальными затратами. То есть мы хотим переставить последовательность так, чтобы все одинаковые буквы были рядом друг с другом.

Единственная разрешенная операция - это подобрать подпоследовательность одинаковых букв и переместить эту подпоследовательность куда угодно, и это стоит мне 1 единицу.

Любая помощь, характеризующая сложность этой проблемы, будет высоко ценится!

Пример :

• aabcdab: вход
• bcd aa ab: после перемещения первого aa в положение сразу после «d»
• b bcdaaa: после перемещения трейлера b в первую позицию

Поскольку полученная строка является однородной, мы имеем стоимость 2.

Обратите внимание, что мы ничем не ограничены в отношении вывода: пока он однороден, нам не нужно обеспечивать какой-либо конкретный порядок.

Эта проблема является NP-полной, путем сокращения от минимального набора удара .

В минимуме ударяя множество, мы дали Вселенной, и набор множеств такое , что . Цель состоит в том, чтобы найти наименьшего размера, такого что такого что .S ∀ сек ∈ S , ˙s ⊂ U H ⊂ U ∀ s ∈ S , ∃ ч ∈ H H ∈ $U$$S$$\forall s \in S, s \subset U$$H \subset U$$\forall s \in S, \exists h \in H$$h \in s$

Сокращение заключается в следующем:

• Строка выглядит следующим образом: Для каждого элемента будет два символа строки . Между этими символами будет символ для каждого такой что . Между парами с, будут уникальные символы, которые не повторяются в строке.u ′ s ′ s ∈ S u ∈ s u $u \in U$$u'$$s'$$s \in S$$u \in s$$u'$

• Чтобы гомогенизировать строку, символ должен быть перемещен раз, для каждого . Кроме того, для каждой и , то символ должен быть перемещен один раз, если каждый между парой был перемещен в другом месте.| с | - 1 s u u ′ s ′ u $s'$$|s|-1$$s$$u$$u'$$s'$$u'$

• Поэтому, чтобы минимизировать количество ходов, необходимых для гомогенизации строки, мы хотим максимизировать количество , чтобы каждый был перемещен в другое место. Объекты где не были перемещены в другое место, должны вместе содержать для каждого , поэтому они должны для набора удара. Кроме того, любой такой набор ударять может служить заканчивающиеся местоположениями с, перемещая каждый в , который ударяет его.$u'$$s'$$u'$$s'$$s'$$s \in S$$s'$$s$$u$

• Таким образом, число ходов для гомогенизации этой строки равногде - минимальный ударный набор.$\sum |s| + |H^*|$$H^*$

Поскольку минимальный ударный набор NP-Hard, оптимально гомогенизирует струну. Поскольку ходы формируют свидетеля, он NP-завершен.

Посмотрите на количество изменений от одной буквы к другой в вашей строке, которые вы могли бы видеть в качестве меры для неоднородности строки. С каждым (полезным) ходом подпоследовательности вы уменьшаете это число на единицу, если перед подпоследовательностью, которой вы перемещаетесь, предшествуют две отдельные буквы. В противном случае вы уменьшите неоднородность на два.

Таким образом, для строки с k изменениями вам нужно не более k - l + 1 ходов, где l - количество различных букв в строке, потому что в конце l - 1 изменения останутся. Поскольку строка длиной n может содержать не более n-1 буквенных изменений, может потребоваться не более n - l ходов. Наименьшее возможное число - половина этого.

Таким образом, наилучшая стратегия заключается в поиске подпоследовательностей формы abbba и удалении bbb оттуда. Когда ничего не осталось, двигайся что угодно. Вы все еще можете попытаться выполнить те операции, которые создают новые ситуации abbba, но я думаю, что выигрыш будет очень небольшим. Поскольку в наихудшей из возможных стратегий (без глупых ходов, которые увеличивают неоднородность) используется не более, чем в два раза больше ходов, чем в оптимальном, малое, что вы можете получить, кажется, не имеет никакого разумного отношения к усилию, как ответ от isaacg с характеристикой как НП-хард подсказывает. Если, конечно, вы действительно только считаете количество операций перемещения и не заботитесь о времени, чтобы решить, какие шаги делать.

Поэтому в худшем случае это строка, в которой каждая буква отличается от своей предшественницы (и вы не получите никаких бонусов abbba). Здесь вам нужно количество операций, линейных по длине строки и практически равных этой длине.

В вашем примере у вас есть 5 -> 4 -> 3 изменения, а 3 равно количеству букв (4) минус 1.

Примечание: для алфавита размером только два, каждое движение, которое не перемещает префикс или суффикс строки, уменьшает неоднородность на два, и, следовательно, каждая последовательность разумных ходов является оптимальной.